Статистическая термодинамика - Киттель Ч.
Скачать (прямая ссылка):
в каждый момент времени система находится в своей наиболее вероятной
конфигурации.
6 Ч, Киттель
162 ГЛ. 12. РАСЧЕТ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ГАЗА'
Чему равно давление после расширения?
Конечный объем в два раза больше начального. Конечная и начальная
температуры газа одинаковы. Поэтому из соотношения pV - Nх следует, что
конечное давление вдвое меньше начального.
Чему равна энтропия газа после расширения?
Энтропия идеального газа при постоянной температуре следующим образом
зависит от объема:
а (V) = A7 In V 4- const, (16) откуда
ovj-ff, = N In (VrfV0 = /V In 2 = =(1 ' Ю22) (0,693)=0,069 • 10-3. (17)
Значение энтропии щ перед расширением определяется (14). Поэтому при
объеме У=2-103 см3 энтропия равна
а2 = (1,60 + 0,07) • 1023 =
= 1,67 • 1023. (18)
Отметим, что энтропия больше при большем объеме, так как в большем объеме
при той же температуре система имеет больше допустимых состояний, чем в
меньшем объеме.
Какую работу совершает газ при расширении?
При изотермическом расширении газа он совершает работу над поршнем (рис.
12.4). При увеличении объема в два раза совершаемая над поршнем работа
равна
У, Уг
pdV = \dVNkBT/V = NkBT\n(V?/Vl) = NkBT\n2. (19)
у, У,
Можно прямо вычислить NkBT, а можно найти эту величину как значение
произведения piVi при начальных условиях, равное
(4,14 • 105 дин • см~2) (1 • 103 см3) = 4,14 • 108 эрг.
Таким образом, из (19) получаем, что работа по перемещению поршня равна
NkBT In 2 = (4,14 • 108 эрг) (0,693) = 2,87 • 108 эрг. (20)
Нллрадмеиие одйжения поршня
Рис. 12.4. К определению работы, совершаемой газом при изотермическом
расширении.
В данном случае газ совершает работу посредством поднятия груза. При
изотермическом расширении pV постоянно для идеального газа, и поэтому
давление должно уменьшаться, чтобы позволить объему увеличиться. Давление
уменьшается путем постепенного удаления небольших частей груза.
МЕДЛЕННОЕ РАСШИРЕНИЕ ПРИ ПОСТОЯННОЙ ЭНТРОПИИ 163
Мы определили № как работу, совершаемую внешними силами над газом. Она со
знаком минус равна работе, совершаемой газом над поршнем, т. е. согласно
(19)
W = - J р dV = - 2,87 • 108 эрг = - 28,7 Дж. (21)
Каково изменение энергии при расширении?
Энергия идеального одноатомного газа равна U = ^KNksT, и, следовательно,
она не меняется при изотермическом расширении.
Какое количество тепла переходит в газ из резервуара?
Мы видели, что энергия идеального газа оставалась постоянной, когда газ
совершал работу над поршнем. В силу закона сохранения энергии необходимо,
чтобы через стенки, ограничивающие выделенный объем, в газ поступала
энергия или тепло из резервуара. Количество тепла Q, сообщаемого газу,
должно быть равно, но противоположно по знаку работе, совершаемой
поршнем, так что
Q + W = 0, (22)
или согласно (21)
Q = 2,87 • 108 эрг = 28,7 Дж. (23)
Этот результат можно использовать для вычисления прироста энтропии вторым
методом (первый метод мы использовали в (17)). Для обратимого процесса
имеем
а2 - щ - Q/x = Q/kbT. (24)
Количество тепла дается в (23), а температура равна 300 К. Таким образом,
о2 -о1=-5- = 7---------------°8 э?-п------= 0,693 -1022 (25)
kBT (1,38 • 10~16 эрг • К ) (300 К)
в согласии с результатом прямого вычисления (см. (17)).
Медленное расширение при постоянной энтропии
Мы рассмотрели расширение при постоянной температуре. Предположим теперь,
что газ расширяется в изолированном сосуде от 1 • 103 до 2 • 103 см3.
Поток тепла из газа или к нему в этом случае отсутствует, так что DQ - 0.
Энтропия остается постоянной, поскольку при квазистатическом процессе с
постоянным числом частиц DQ - т do.
Процесс при постоянной энтропии называется изэнтропиче-ским. Любой
термодинамический процесс без передачи тепла называется адиабатическим, и
поэтому любой обратимый адиабатический процесс является изэнтропическим.
6*
164 гл. 12. РАСЧЕТ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ГАЗА
Чему равна температура газа после расширения?
В гл. 11 мы нашли, что энтропия идеального одноатомного
газа зависит от объема и температуры следующим образом:
S (7, V) = N (in ТЧг + In V + const); (26)
поэтому его энтропия остается постоянной, если
In (Tv,V) = const, T>l2V = const. (27)
При расширении с постоянной энтропией от V\ до V2 имеем для идеального
одноатомного газа
r?'Vi = ftv2.
(28)
Используя равенство pV = Nk^T, перепишем последнее соотношение в другой
форме:
PxVi P2V2
7, Т2
^(тг)=^У2- P^i(t7)V, = ^2. (29)
и окончательно получаем для идеального одноатомного газа
р№ = р№- ОО)
Можно показать, что для расширения многоатомного газа при постоянной
энтропии справедливо равенство рУ1 = P2V2> где у = Cp/Cv - отношение
теплоемкостей.
Полагая = 300 К и VJV2 = V2, находим из (28)
Т2 = ('/2)/з (300 К) = 189К- (31)
Такова конечная температура после расширения при постоянной энтропии. При
расширении газ охлаждается на
7,-72 = 300 - 189= 111 К. (32)
Расширение при постоянной энтропии служит одним из важных способов
охлаждения газа.
