Статистическая термодинамика - Киттель Ч.
Скачать (прямая ссылка):
в данном случае с высокой точностью.
Чему равно давление газа?
Согласно закону идеального газа
pV = Nk^T; р = NksT/V. (1)
Изменение давления в зависимости от N, Т и V изображено графически на
рис. 12.1. Полагая постоянную Больцмана равной кь = 1,3805-10-16 эрг-К-1,
получаем
(1 • 1022 атом) (1,38- 10~16 эрг-К-1) (300 К)
Р ~ (1 • Ю3 см3) -
= 4,14 • 105 дин • см-2. (2)
Давление, полученное в динах на квадратный сантиметр, можно выразить
также в стандартных атмосферах или в барах,
ГЛ. 12. РАСЧЕТ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ГАЗА 159
или в других единицах давления*). Одна стандартная атмосфера определяется
как
1 атм = 1,01325 • 10б дин • см~\ (За)
Это давление столба ртути высотой 760 мм при 0 °С и при стандартном
ускорении силы тяжести, равном 980,665 см-с-2. Для нашего примера
4,14 • Ю5 дин • см-2 " то /0,ч
Р - шпаг 1"в "----------^------г = 0,408 атм. (36)
г 1,01325 • 106 дин • см-2 • атм-1 ' ' '
Баром называется единица давления, которая определяется следующим
образом:
1 бар = 1 • 10б дин ¦ см-2. U U
(Зв)
В нашем случае р = 0,414 бар.
Какова энергия газа?
Мы знаем, что для идеального одноатомного газа имеет место соотношение
U = 3/2NkbT. (4)
Зависимость энергии от температуры представлена графически на рис. 12.2,
Используя (4), получаем для нашего случая
U = 3/2(1 • 1022) (1,38 - 10-16 эрг -К-1) (300 К) = 6,21 • 108 эрг. (5)
Найденный результат можно выразить также в джоулях или калориях. Для
этого надо учесть, что
107 эрг = 1 Дж
и
4,184 • 107 эрг = 1 кал = 4,184 Дж. (6)
Таким образом, в нашем примере
U " 62 Дж " 15 кал.
Калория определяется как энергия, равная 4,184 Дж. Первоначально калория
была введена в физику как количество тепла, необходимое для повышения
температуры 1 г воды на 1 °С. Позже в некоторых странах было добавлено
уточнение, что температура должна повышаться при атмосферном давлении от
14,5 до 15,5 °С. Так как особой необходимости в других единицах
*) Можно было бы много говорить о различных системах единиц. Наша
стандартная единица давления - это дин-см-2, но для понимания
существующей литературы необходимо знакомство со многими другими
единицами.
T,N постоянны
Рис. 12.2. Зависимость энергии идеального газа от V и Т.
160 ГЛ 12. РАСЧЕТ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ГАЗА
энергии нет, то международные организации не поддерживают использование
калории в качестве такой единицы.
В химической литературе широко используется единица энергии килокалория
на моль, т. е. 1000 калорий на один моль молекул. Один моль равен N0 =
6,0225-1023 молекул. Килокалорию на моль можно связать с электронвольтом
на молекулу посредством соотношения
где
23,061 ккал • моль-1 = 1 эВ,
-! 2
1 эВ = 1,6021 • 10'эрг.
Значение газовой постоянной R = Мой б равно
R = 8,3143 • 107 эрг ¦ К-1 • моль-1
или 1,987 кал • К"1 • моль-1.
Чему равна энтропия газа?
Согласно (11.3Г) энтропия идеального газа атомов с нулевыми спинами
записывается в виде
а = N [In {MkBT/2nh2)'7 - In {N/V) + 5/2]. (7)
Зависимость энтропии от температуры и объема изображена на рис. 12.3.
15
%Ю
|
^ с
Температура, И
я)
2 3
Объем,10sсм3 6)
Рис. 12.3. Энтропия 1 моля Не4 при давлении 1 атм в зависимости от
температуры (а) и энтропия 1 моля Не4 при 300 К в зависимости от объема
(б).
Масса атома Не4 находится как произведение атомного веса на атомную
единицу массы
М = (4,003) (1,66- КГ24 г) = 6,64- КГ24
г,
где использовано определение
1 ат. ед, массы = 1,66042 • 10 24 г,
(8)
что составляет '/12 от массы атома С12. Атомный вес Не4 равен 4,003.
МЕДЛЕННОЕ ИЗОТЕРМИЧЕСКОЕ РАСШИРЕНИЕ 161
Учитывая, что h = 1,05449 • 10-27 эрг-с, получаем MkBT (6,64 ¦ КГ24 г)
(1,38 • 1(Г16 эрг • К-1) (300 К)
2яЙ2 _ (6,28) (1,11 • КГ54 эрг2-с2) _
= 3,94- 10'6 см-2 (9)
и
( MkBT у/,
("dH = 7'8 • 10 см-3. (10)
Эта величина обратна той, которую мы в гл. 11 обозначили через Vq. Для
квантового объема Не4 при 300 К имеем
1,28 • КГ25 см3. (11)
Для выбранных условий, когда 1-1022 атомов находятся в 1-103 см3,
получаем для концентрации
N 1 • 1022 , ты -ч пт
С = -гг = -j-ТТЛ г=1 • 1019 см 3. (12)
V 1 -103 см3 4 '
Таким образом, cVq " 1,28-10-6 <С 1, т. е. газ находится в классическом
режиме.
Из (10) и (12) находим
К^кгТ (т)]-'" К7-8• • ю"')]-
= 2,30lg (7,8 • 105) = (2,30) (5,89) = 13,55. (13)
Здесь мы использовали соотношение
In л: = (In 10) (1 gл:) = 2,30 lg л:.
С помощью (7) и (13) получаем следующее значение энтропии газа из 1022
атомов:
<х = (1 • Ю22) (13,55 + 2,50) = 1,60- 1023, (14)
или
S = къо = (1,38 • 10-i6 эрг -КГ1) (l,60- 1053) =
= 2,21 • 107 эрг • К-1. (15)
Энтропия о безразмерна.
Если рассматривать газообразный Не3 с ядерным спином / = i/z, то энтропия
была бы больше на величину спиновой энтропии N\n(2I-V 1)=АЧп2. Кроме
того, значение Vq для Не3 также было бы больше, чем для Не4, из-за
меньшей массы.
Медленное изотермическое расширение
Пусть газ медленно расширяется при постоянной температуре до объема 2-103
см3. Медленное расширение является обратимым процессом, так как при этом
