Статистическая термодинамика - Киттель Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 11.6. Флуктуации в ферми-газе. Показать, что для одной орбитали в
фермионной системе справедливо соотношение
<(Дд)г> = <я>(1 -<я". (67)
где (п) - среднее число фермионов на этой орбитали. Отметим, что
флуктуация числа фермионов отсутствует для орбиталей с энергией,
значительно-
меньшей энергии Ферми, для которых, следовательно, (я) = 1.
Задача 11.7. Флуктуации в бозе-газе. Показать, что
<(М2> = <л>(1 +<п" (68)
где (п) - заселенность какой-либо одной орбитали бозонной системы. Отсюда
следует, что если заселенность велика ( (я) 3> 1), то относительные
флуктуации порядка единицы
((A")2> ~ 1 ГАОЧ
<69>
и, значит, абсолютные величины флуктуации могут быть очень большими *).
Этот вопрос обсуждается в гл. 15.
Флуктуации энергии
Система, находящаяся в тепловом контакте с резервуаром, не имеет строго
постоянной энергии. Даже само определение температуры системы посредством
соприкосновения ее с термометром или с тепловым резервуаром ведет к
возникновению неопределенности в величине энергии. В гл. 6 мы нашли
выражение для среднеквадратичной флуктуации энергии е системы
((e-(e))2)=feB7'2Cp, (70)
где Cv - теплоемкость при постоянном объеме. Для идеального
*) Флуктуации могут, однако, оказаться малыми, если полное число частиц в
системе поддерживается постоянным [53].
150
ГЛ. И. ОДНОАТОМНЫЙ ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ
одноатомного газа
Cv = %NkB\ U - a/2V къТ = (в),
так что
((в ~ (е))2) 2
<е>2 ~ 3N ¦ V1'
Таким образом, корень квадратный из среднеквадратичной относительной
флуктуации энергии идеального газа порядка 11 л/N. Для N ~ 1020
относительная флуктуации порядка 10-10, т. е. пренебрежимо мала. Для
систем обычных лабораторных размеров энергия практически одинаково хорошо
определена независимо от того, находится ли система в тепловом контакте с
резервуаром или строго изолирована.
Флуктуации давления
Еще Гиббс отмечал в своей работе, что флуктуации давления труднее для
рассмотрения, чем флуктуации энергии.
Так как молекулы ударяются о стенку или какую-либо границу "мгновенно",
то бессмысленно говорить о мгновенном давлении. Поэтому нельзя обсуждать
флуктуации давления в газе без рассмотрения их частотного спектра.
Понятие частотного спектра шумов или флуктуаций является очень ценным в
физике, но оно лежит за пределами ограниченных возможностей принятого
нами изложения (за исключением обсуждения шумов в электрических цепях в
Приложении VIII).
Равновесие в гравитационном поле
Рассмотрим идеальный газ, находящийся в статическом равновесии в
однородном гравитационном поле с ускорением силы тяжести g. Попытаемся
найти изменение давления с высотой. Конкретная геометрия задачи показана
на рис. 11.3; она выбрана в таком виде для удобства. Два объема, которые
можно выделить из большого объема, находятся в тепловом и диффузионном
контакте, так что т4 = т2 и p,i = цг- Ключом к решению задачи является
поведение химического потенциала.
Для нижнего объема большая сумма имеет вид
^i = ZZexр{ [Vp, - 8,(V)]/t}, (72)
N I
где e;(V)-энергия V-частичного состояния нижнего объема. Соответствующее
V-частичное l-е состояние верхнего объема имеет энергию, превышающую
e;(V) на величину гравитационной потенциальной энергии NMgL, которой
обладают V частиц массы М, поднятых в гравитационном поле на высоту L.
РАВНОВЕСИЕ В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ
15 Г
Энергия этого состояния в верхнем объеме равна
е; (ДО + NMgL, так что большую сумму для него можно записать в виде ?2 =
? I ехр { [Nvl2 - в, (N) - NMgL}/т} =
N I
= ? I ехр { [N (р2 - MgL) - в, (N)]/x).
А' I
(73)
(74)
Верхний объем (2)
или
Нижний щ. объем (!) L
¦es+MffL.
Там, где в выражении для 3Ci стоит рь в выражении для ЗС2 появляется р2-
MgL. Для нижнего объема получаем из (18)
р, = т In CjFq. (75)
Здесь Ci - концентрация в нижнем объеме. Интеграл (6), который приводит к
(11), изменит свой вид, так как для верхнего объема вместо Аа надо всюду
писать
Я2 ехр(- MgL/х).
Поэтому для него получим
H2 - MgL = xlnc2VQ, (76)
ц2 = х In c2VQ +MgL. (77)
Заметим, что потенциал р2 увеличился на потенциальную энергию одной
частицы, равную MgL.
При диффузионном равновесии оба химических потенциала pi и р2 равны.
Поэтому концентрация в верхнем объеме должна быть меньше, чем в нижнем,
поскольку должно выполняться равенство
Pi = Tlnc,FQ =
= т In c2VQ + MgL = p2,
или
т In (cjc2) = MgL.
Отсюда
c2 = Ci exp [- MgL/х].
(78)
(79)
(80)
Рис. 11.3. Два сосуда с га-зом, находящиеся в тепло-вом и диффузионном
контакте, в поле тяжести. Если орбиталь s в нижнем объеме имеет энергию
8^, то соответствующая орбиталь в верхнем-объеме имеет энергию 8- +AIgL.
Это соотношение выражает зависимость концентрации частиц от высоты L.
Давление идеального газа пропорционально концентрации его молекул.
Поэтому
Р2 - Р\ ехР (- MgL/т).
(81),
152
ГЛ. П. ОДНОАТОМНЫИ ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ
Соотношение (81) называется барометрической формулой. Она дает
зависимость давления от высоты L в изотермической атмосфере для газа
