Статистическая термодинамика - Киттель Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Borges, The Library of Babel, 1962, 79-88),
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ОБ ЭНТРОПИИ И ТЕМПЕРАТУРЕ
65
Предположим, что 1010 обезьян работали на пишущих машинках в течение
всего времени существования Вселенной, т. е. 1018 с. Такое количество
обезьян примерно в три раза превышает число живущих на Земле людей. *).
Допустим, что обезьяна может сделать за 1 с до 10 ударов по клавишам
машинки. Пишущая машинка имеет 44 клавиша (мы будем пользоваться
строчными буквами взамен заглавных). Смогут ли обезьяны напечатать
шекспировского "Гамлета", если принять, что эта книга содержит 105
знаков?
а. Показать, что при напечатании наугад 105 знаков вероятность
получить правильную последовательность (последовательность букв в
"Гамлете") равна
где мы учли, что lg 44 = 1,64345.
б. Показать, что при таких "машинистках" вероятность появления "Гамлета"
за все время существования Вселенной равна приблизительно К)-164313.
Следовательно, вероятность случайно напечатать "Гамлета" практически
равна нулю, так что утверждение, приведенное в начале задачи, абсурдно:
литературная деятельность всех обезьян никогда не приведет к созданию
хотя бы одной книги, не говоря уже о целой библиотеке.
в. Как изменится результат б, если мы не будем фиксировать название
книги, а остановимся на любой? По-видимому, всего имеется около 30-10*
различных названий всевозможных книг: самая большая американская
библиотека, Библиотека Конгресса, содержит около 15-10(r) книг и
рукописей**). Отметим, что вся продукция обезьян эквивалентна 1024
небольших томов по 105 знаков в каждом, но легко убедиться, что ни один
из них не воспроизводит какой-либо из существующих книг***).
а. Степень вырождения двух систем, находящихся в тепловом контакте,
записывается в виде
б. Максимальная величина произведения в этой сумме определяет наиболее
вероятную конфигурацию:
*) На каждого ныне живущего приходится примерно 30 человек, живших ранее.
Если считать среднюю продолжительность жизни равной 2-109 сг а число
прожитых жизней 1-1011, то суммарное число человеко-секунд получается
равным 2• 1020, что значительно меньше числа "обезьяно-секуйд"-(1028),
входящего в нашу задачу.
**) Библиотека им. В. И. Ленина имеет примерно 25- 10е книг. (Прим. пере
в.)
***) В рассуждении автора упущено то, что за миллионы лет эволюции
обезьяна может превратиться в человека и поэтому сможет написать книгу, и
не одну! (Прим. ред.)
Краткий обзор основных положений об энтропии и температуре
g (N, U)=Zgi (Nu U,) g2 (N2, U - ?/,)•
и,
(gl&LaKC^glM, Gi)g2(N2, U- Ui);
для этой конфигурации
/ dlngA / д In g2 \
^ сК/, \ dU2 JN/
66
ГЛ. 4. ДВЕ СИСТЕМЫ В ТЕПЛОВОМ КОНТАКТЕ
в. Средние значения физических свойств большой системы можно вычислить
путем усреднения по наиболее вероятной конфигурации. В частности, для
энтропии мы с высокой точностью имеем
Наиболее вероятная конфигурация называется разновесной. г. Для систем,
находящихся в тепловом контакте, имеем
д. Обобщенная энтропия системы в какой-либо конфигурации определяется как
Она максимальна для наиболее вероятной конфигурации. Отклонения Стоб от о
= 1п(?1?2)макс чрезвычайно малы. Если система первоначально
"приготовлена" в конфигурации, сильно отличающейся от наиболее вероятной,
то а0б будет возрастать со временем до тех пор, пока не станет равной
энтропии о.
a (N, U)^\ng (N, U) " In (gig2)uiRC =
- In gi (Ni, Ui) + lng2(A'2, &2)==o,-H g2.
'макс -
ao6 = lng, (Nu Ul)g2(N2, U - Ui).
Глава 5
ДВЕ СИСТЕМЫ В ДИФФУЗИОННОМ КОНТАКТЕ. ХИМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ
В гл. 4 мы рассмотрели поведение двух систем, находящихся в тепловом
контакте, и пришли к естественному определению температуры системы. Из
этого определения вытекает следующее важное следствие, а име-нно, что
число допустимых состояний объединенной системы максимально при равенстве
температур обеих систем.
Рассмотрим теперь две системы, находящиеся не только в тепловом, но и в
диффузионном контакте. Диффузионный контакт означает, что атомы или
молекулы могут переходить из одной системы в другую посредством диффузии
через проницаемую границу или мембрану. При тепловом и диффузионном
контакте системы могут обмениваться как частицами, так и энергией, и мы
не будем рассматривать системы только в диффузионном контакте, т. е. без
теплового контакта*). В результате наших рассуждений мы придем к
естественному определению химического потенциала, который представляется
столь же важной величиной, как и температура. Мы покажем (в частности в
гл. 11), что химический потенциал обычно содержит два вклада - один,
связанный с потенциальной энергией частиц, и другой, связанный с их
концентрацией.
Мы видели, что две системы, способные обмениваться энергией, находятся в
равновесии при равенстве своих температур. А что можно сказать об условии
равновесия систем, способных обмениваться частицами? Здесь нужно найти
новое условие равновесия, которое потребует введение химического
потенциала. Таким путем мы сможем рассмотреть изменение концентрации
