Статистическая термодинамика - Киттель Ч.
Скачать (прямая ссылка):
относительной намагниченности
М 2т (29>
N\i0 N
для модельной системы из N спинов, находящихся в магнитном поле Я.
Полученные результаты будут использованы в нескольких последующих
примерах. Энтропия задается логарифмом выражения (2.37), определяющего
степень вырождения g(N,m):
a (N, т) = In g (N, 0) - 2m2/N. (30)
Это приближение справедливо для \m[/N <SC I. Энергия U определяется
соотношением
U = - 2тр0Я, (31)
где ро - магнитный момент элементарного магнита.
Энтропию удобно записать в виде o(N,U), поскольку мы определяли т через
а, выраженную как функция от N и U. Возведя обе части (31) в квадрат,
получаем
U2 = 4р\Н2т2\ т2 = л ^ д,; (32)
4р0 Н
тогда (30) принимает вид
U2 2h2H2N '
а (N, U)=o(N, 0)~ п- - ц , (33)
П I С hf~ Л Т
где учтено, что a(N,0) - lng(N,0).
Исходя из определения температуры, можно записать
1 / da \ U
т \ди)н \>-Ih2n'
(34)
Поэтому при тепловом равновесии **) при температуре т средняя энергия и
энтропия равны
NvlH2 NylH2
U(t) =---------------------; <т = <То-<35)
С возрастанием температуры энергия и энтропия растут. Энтропия
уменьшается как квадрат магнитного поля: магнитное поле уменьшает
хаотичность в системе (увеличивает порядок). Результат (35)
является приближен-
ным (в силу (30)) и справедлив только при ]i0H <С т.
Тепловое среднее, или среднее по ансамблю, некоторой величины А
обозначается (А) . Для удобства мы не будем пользоваться угловыми
скобками и вместо (U(т)) будем просто писать U(т). Усредняя (31), получим
U (т) = - 2 (ш) \i0H. (36)
*) Было бы желательно в качестве первого примера рассмотреть идеальный
газ, но такая задача совсем не тривиальна. В литературе часто приводятся
неполные выражения для энтропии идеального газа. Строгий и относительно
простой вывод будет изложен в гл. 11.
**) Ничто в нашем рассмотрении не исключает возможности того, что
температура может быть отрицательной. Действительно, если энергия в (34)
положительна, то температура будет отрицательной. В гл. 6 мы рассмотрим
исследуемую систему как в области положительных, так и в области
отрицательных температур.
54
ГЛ. 4. ДВЕ СИСТЕМЫ В ТЕПЛОВОМ КОНТАКТЕ
Сравнение с (35) дает
Яр^Я2
-2</л)р0Я =-----------. (37)
Таким образом, для относительной намагниченности имеем
Л 2{т) р0Я
л, - а/ - • (38)
р0Я Я т '
Мы видим, что магнитное поле стремится упорядочить направления спинов
вопреки температуре, которая стремится разупорядочить их.
В этом приближении полный магнитный момент системы в тепловом равновесии
при температуре т равен
Полный магнитный момент прямо пропорционален числу частиц и напряженности
магнитного поля и обратно пропорционален температуре.
Магнитная восприимчивость определяется как dJtjdH = %. Из (39) получаем
Х = Яр2/т. (40)
Такова восприимчивость *) системы спинов, равных 7г, при условии р0Я/т <С
1 [8]. Почему именно в этом приближении? При выводе (30) предполагалось,
что \m\IN <с 1. При рассмотрении задачи 6.2 мы увидим, как можно получить
точное выражение для восприимчивости, не прибегая к этому ограничению.
Часто подразумевается, что восприимчивость относится к единичному объему;
в этом случае под N нужно понимать число частиц в единице объема.
Пример. Магнитное охлаждение. Систему магнитных моментов можно охладить,
выключив магнитное поле, в котором они до этого находились. Рассмотрим
магнитную систему из N магнитов с моментами ро, находящуюся в тепловом
равновесии при начальной температуре тн и помещенную в магнитное поле Ян.
В приближении роЯ < т энтропия равна в соответствии с (35)
- а (Я,тн, Ян) = Oq (40а)
2тн
Если при уменьшении напряженности магнитного поля до конечного значения
Як можно обеспечить постоянство энтропии**), то конечное значение
температуры тк определится из условия постоянства энтропии:
Яр^Я2 Яр 2я-
0 2^г ц~- (40б)
*) Соотношение (40) называется законом Кюри для магнитной
восприимчивости, который записывается в виде % - С/х, где С носит
название постоянной Кюри.
**) В гл. 7 мы увидим, что для постоянства энтропии в каком-либо процессе
требуется, чтобы образец не отдавал и не получал тепла. Следовательно,
для постоянства энтропии магнитный образец должен быть термически
изолирован.
СТРЕМЛЕНИЕ ЭНТРОПИИ К ВОЗРАСТАНИЮ
Таким образом,
тк _ Нк
Ти Н н
(4 в)
Иными словами, температура уменьшается в том же отношении, что и
магнитное поле. График, приведенный на рис. 4.6, экспериментально
подтверждает это соотношение. (В опытах напряженность магнитного поля
уменьшалась не дс нуля, а лишь до указанных значений. Начальные значения
напряженности поля и температуры были одинаковыми во всех экспериментах.)
На рис. 4.7 схематически изображен применяемый для таких целей прибор.
Метод магнитного охлаждения используется для достижения очень
Рис. 4.6. Зависимость конечной напряженности магнитного поля Нк от
конечной температуры в случае магнитного охлаждения двойной соли нитрата
цезия и нитрата магния [9].
Рис. 4.7. Схема прибора для магнитного охлаждения [10].
