Основы физики поверхности твердого тела - Киселев В.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 1.12. а - энергетическая диаграмма системы: квантовая пленка (1),
тонкий диэлектрик (2). массивный металл (3); о - зависимость второй
производной туннельного тока от напряжения, подаваемого на структуру
44
Глава 1
свободных носителей нужно принимать во внимание, если za ^ кв-Отсюда
можно оценить величины напряженности электрического поля и
соответствующих поверхностных избытков, при которых возможны квантовые
эффекты в ОПЗ:
?s > (2/я!) х/2{кТ)Ъ/2 /q-2Kh ,
Г
е0е(2ю!) / (кТ)2/2/q2 -2nh
Рис. 1.13. Электрон в "треугольной" потенциальной яме (а) и в ОПЗ (б).
Горизонтальными линиями показаны квантовые уровни энергии электрона
Т, К
Рис. 1.14. Зависимость от температуры положения четырех нижних подзон в
инверсионном канале на /?-кремнии (X = 105, Г" = = 1012 см'2) [2].
Вертикальный отрезок - величина кТ при 100 К
(153)
Используя характерные для кремния значения m*-0,5m0, г - 10, получим, что
при комнатной температуре нужно учитывать возможность квантования уже при
относительно небольших полях (?5- > 2,5-Ю4 Всм'1) и поверхностных
избытках (Гя р > >1,510п см 2). При понижении температуры квантовые
эффекты могут проявляться при еще более низких значениях и Гяр.
Соотношения (1.53) следует рассматривать как ориентировочные; более
строгие количественные расчеты базируются на точном учете формы
потенциальной ямы для свободных носителей заряда в ОПЗ --рис. 1.13,6. Для
определения положений уровней размерного квантования и соответствующих
волновых функций необходимо совместно решать уравнения Шредингера и
Пуассона. Это решение должно быть самосогласованным, поскольку от вида
собственных функций зависит фор-
Область пространственного заряда
45
ма потенциальной ямы и наоборот. Точное аналитическое решение, этой
задачи невозможно, поэтому используют приближенные методы - численные
либо вариационный.
Экспериментально квантовые эффекты в ОПЗ удобно исследовать в
инверсионных каналах, так как они электрически "изолированы" от объема
кристалла слоем истощения. Для иллюстрации на рис. 1.14 показаны
полученные численным методом положения нескольких уровней размерного
квантования в инверсионном канале на поверхности кремния в зависимости от
температуры. Там же показана тепловая энергия носителей заряда кТ при 100
К. Из рис. 1.14 следует, что при достаточно низких температурах (Т < 100
К) заселенной окажется только нижняя подзона (такая ситуация называется
"электрическим квантовым пределом").
Распределения заряда в инверсионном слое, полученные из
квантовомеханических расчетов и из классической теории ОПЗ, кардинально
отличаются друг от друга. Из рис. 1.15 видно, что квантование существенно
увеличивает общую протяженность ОПЗ и приводит к резкому уменьшению
концентрации носителей заряда непосредственно вблизи поверхности
кристалла.
Наиболее важные параметры "квантованной" ОПЗ - положение нижнего уровня
размерного квантования и ширины ОПЗ. Их можно с достаточной степенью
точности вычислить, пользуясь результатами приближенного решения задачи в
электрическом квантовом пределе, основанного на подстановке в уравнение
Шре-дингера вариационных волновых функций в виде
ЧЧг) = (&о / 2)'/2 ¦ г ¦ ехр(- b0z / 2).
Рис. 1.15. Пространственное распределение электронов в инверсионном
канале на р-кремнии при классическом (1) и квантовомеханическом (2)
расчетах. Пунктирной линией показан вклад нижней подзоны в
квантовомеханическое распределение заряда. Параметры расчета: X = 106, Гп
= 1012 см-2, Т= 150 К [21
46
Глава 1
Вариационный параметр Ь0 определяется из условия минимума полной энергии
в расчете на один электрон. Его величина обратно пропорциональна среднему
удалению носителей заряда от поверхности кристалла: (г) = 3 / Ь0. В
результате приближенного решения получается, что в режиме сильной
инверсии среднее расстояние электронов от поверхности кристалла
пропорционально Г"|//3.
В заключение подчеркнем, что квантовые эффекты, как в тонких пленках, так
и в ОПЗ, проявляются достаточно ярко только в том случае, когда заселено
не более 1-2 квантовых подзон. Для того, чтобы это условие выполнялось,
расщепление уровней размерного квантования должно быть существенно
больше, чем уширение этих уровней из-за теплового движения (АЕ\ в кТ) и
конечной величины времени свободного пробега носителей заряда {AEj). В
соответствии с соотношением неопределенностей ДЕ2 =/i/x/ =qhj\im*z.
Поэтому обычно эффекты, связанные с квантованием энергетического спектра
носителей заряда, наблюдаются в материалах с высокой подвижностью
носителей и при низких температурах (см. рис. 1.11). В некоторых случаях,
однако, - в очень тонких совершенных пленках и проволоках - квантовые
эффекты могут быть заметными и в области комнатных температур.
Процессы электронного переноса в областях пространственного заряда.
47
Глава 2
Процессы электронного переноса в областях пространственного заряда и
тонких пленках
2.1. Электронный перенос в тонких металлических пленках
