Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
электронного газа с компенсирующим фоном, нетрудно заключить, что каждый
из электронов отталкивает от себя другие электроны. Поэтому вблизи
электрона образуется избыток положительного заряда, который и экранирует
заряд электрона. В результате кулоновские силы становятся
короткодействующими.
Если вернуться к первоначальному выражению (27. 9) и записать его в виде
,,ч 4яе2
^эфф ~
то величину
ф-^пЦ.о,)] (и J) = 1 - ~ П (к, с")
* Существует некоторая общая формула для радиуса дебаевского
экранирования, основанная на применении теоремы Уорда и не связанная со
сделанными здесь ограничениями [11 ].
264
можно назвать эффективной (продольной) диэлектрической постоянной среды.
Эта величина зависит не только от частоты м,
но и от волнового вектора k, что свидетельствует о наличии в среде как
частотной, так и пространственной дисперсии диэлектрической постоянной.
Через е(ю, k) можно непосредственно выразить целый ряд физических
характеристик системы и процессов ее взаимодействия с внешними агентами.
Подобная "диэлектрическая" формулировка теории многих частиц активно
разрабатывается в последние годы [39, 115].
27. 5. При вычислении таких величин, как массовый оператор, энергия ит.
п., приходится сталкиваться с особой математической структурой
соответствующих выражений, которую обычно называют логарифмической.
Пусть задан некоторый заведомо сходящийся интеграл, зависящий от малого
параметра а
оо
/ (а) - j dxf (х, а).
о
Пусть далее этот интеграл становится логарифмически расходящимся (на
нижнем пределе), если в подынтегральном выражении положить а = 0; другими
словами, при малых х/ (х, 0) ~ 1/х. Тогда при а -" 0 величина / (а)
является логарифмической функцией, причем при выполнении неравенства In
(1/а) > 1 вычисление / (а) существенно упрощается.
В самом деле, допустим, что при значениях х, меньших некоторой не
зависящей от а величины х0, функция / (х, а) приобретает вид
№ ,
где функция ф конечна при нулевом значении своего аргумента (иначе
интеграл / (0) не будет логарифмически расходиться) и стремится к нулю,
когда аргумент стремится к бесконечности (иначе I (а) не будет
сходиться). Разобьем / (а) на сумму двух интегралов. Первый, взятый по
области от х0 до оо, стремится при а -> 0 к постоянному пределу
оо
j dxf (х, 0).
х о
Второй интеграл
*0
j ~1Г *Р
о
после подстановки х = а| принимает вид
f -f- ф (1/6).
0
265
В этом сходящемся интеграле при убывании а существенна лишь область
вблизи верхнего предела. Вынося в этой области из-под знака интеграла
величину ф (а/х0) *=" ф (0), найдем окончательно
/ (а) = ф (0) In (х</а) + О (а0). (27. 20)
Так мы получаем простой ответ, справедливый с логарифмической точностью.
27. 6. Определим массовый оператор сжатой системы. Из соотношения (25.
11) находим
М (р) = - i j d4k [у (k) - v (&)] Ga (p - k) =
= -t- Г d*kG0(P-k)-(tm)^L-.
J 1 - П (k) v ( k )
Ограничимся наиболее важным случаем кулоновской системы. Тогда, вводя
Мсо , -*¦ -*
I = > k = А><7, Р = Р0х
и
- ^
6 - 2М
У,
получим
*о"-*4 Г 4?- С-S--Т-х
!+ -гтт/(5а)
WP0
ОО
X [у - 2ql - (х - ?)2+ гб sign [(х - qf- l]} (27.21)
Проанализируем особенности подынтегрального выражения в комплексной
плоскости ?. Прежде всего, придется иметь дело с полюсом функции Грина
G0, расположенным в точке
Si = -у ~ ^ +г'6 sign [р-^)2- *]•
Далее нужно учесть полюса величины у (k). Они. расположены в точках
М |ш01 ,б
Наконец, имеет особенности и сама величина / (С2). Как видно из ее
определения [см. выражения (27. 5) и (27. 6)], имеются точки ветвления ?з
+ ib = 1, т. е.
1 - /б - 1 + гб.
Проводя линии разреза, приходим к изображенной на рис. 63 картине.
Ввиду достаточно быстрого убывания подынтегрального выражения в
соотношении (27. 21) с ростом Z, контур интегрирования можно сместить на
мнимую ось. При этом придется иметь дело с вычетами полюса Ci. если он
лежит в первом или третьем квадранте, т. е. если выполнены условия
/->¦ ->\2 у> \х - q) > 1
ИЛИ
/-> +\2 1 > \x-q) >У-
Интеграл по замкнутому контуру С равен вычету в первом квадранте с
положительным знаком или в третьем квадранте с отрицательным знаком.
Таким образом, вклад вычетов в интеграл по С в выражении (27. 21) равен
При у - х2 > kfjp0 аргумент функции / велик, и сама функция
пропорциональна q2. Поэтому логарифмическая ситуация отсутствует, и вклад
вычетов может не учитываться. В другом
предельном случае (у 1) вклад вычетов также крайне мал из-за
->
узости области интегрирования по q.
Опуская поэтому вычеты, мы можем заменить исходный интеграл интегралом по
мнимой оси, т. е. сделать замену С *'?• Функция / (С2) принимает при этом
вид
/ (-?2) = 1 - С arc tg~(l/?).
267
Рис. 63
к2
1 + - 0 { 2дУ0
Таким образом, входящий в соотношение (27. 21) интеграл по ? можно
представить в виде
г ; f* 1 - g arc tg (l/?)
- ' k2
1 -f -YT [1-5 arc tg (I/O) \
Vpg \
21-1
Рассмотрим случай у - x2 > k0/p0. Малым параметром здесь является
величина kjp0. Если ею пренебречь, то при q -> О / -> const и имеет место
