Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
Входящий в него оператор 1 + г -^-сводится к единице при действии на
регулярную в точке г = 0 функцию и дает нуль при действии на функцию,
имеющую особенность типа 1/г. Благодаря
наличию оператора 1 + r-Ц^ псевдопотенциал (1. 17) может быть
использован для расчетов в высших приближениях теории возмущений. В этом
отношении он существенно отличается от псевдопотенциала Ферми [32],
который пригоден лишь для расчетов в первом борновском приближении.
Следует подчеркнуть, что при выводе выражения (1. 16) было использовано
только условие (1. 12), означающее малость радиуса действия сил по
сравнению с длиной волны относительного движения частиц \/k. Малость
амплитуды рассеяния по сравнению с \/k при этом не использовалась.
Поэтому выражение (1. 16) пригодно, вообще говоря, и для описания
резонансной ситуации, когда б0 ^ я/2.
Перейдем к нахождению поправок к псевдопотенциалу (1. 17), имеющих
относцтельный порядок (kc)2 (линейные члены, как оказывается, при этом
отсутствуют). Прежде всего необходимо учесть следующий член разложения по
kc величины tg60 (k) в выражении (1. 16). Оставаясь в рамках принятого
приближения, можно
17
произвести, согласно уравнению (1. 15), замену &2 -> -А, а также опустить
оператор 1 -J- г-^- *. Это дает
MWr)= _*?б(г)Д. (1. 18>
Здесь и ниже
__ \ *1
2
Помимо этого, поправочные члены рассматриваемого порядка получаются за
счет p-рассеяния. Подставляя в уравнение (1. 15) соотношение
(k V) а (Г) = - t 2 Va [б (Г) Va exp {it г)) s
a
= - i 2 tVa6 (0 Va + в fa А] Ф Й
a
и учитывая, что для потенциала V(C) ах (k) = -&2с3, будем иметь
4 4ттг3 ->
Sjу (г)зфф = - ^ [2 Va6 (г) Va + б (г) А]. (1. 19)
a
В заключение коснемся вопроса о погрешности, связанной со-сделанным выше
предположением о возможности замены точной волновой функции выражением
(1. 14). Очевидно, что эта погрешность будет сказываться лишь на членах
высшего порядка по параметру kc. Анализ показывает [38], что
соответствующий относительный вклад оказывается по крайней мере порядка
(kc)3 и может поэтому не учитываться.
1. 6. Из входящих в уравнение Шредингера величин можно-составить в
общем случае два независимых безразмерных параметра. Один из них -
параметр взаимодействия a - определяется отношением средней энергии
взаимодействия пары частиц, к их средней кинетической энергии. Другой -
параметр сжатости "п - равен отношению эффективного радиуса действия сил
к среднему расстоянию между частицами.
Соответственно величине этих параметров можно классифицировать системы
многих частиц по двум признакам: по силе взаимодействия между частицами и
по степени сжатости системы. Взаимодействие в системе считается большим
или малым в зависимости от того, велик или мал по сравнению с единицей
параметр а. Аналогично система относится к классу сжатых или раз-
* В дальнейшем формула (1. 18) будет использована лишь в первом борнов-
ском приближении, где этот оператор действует на регулярную в точке г - О
функцию.
18
реженных в соответствии с тем, велик или мал параметр тр Такая
классификация оказывается весьма полезной для выбора подходящего
приближенного метода описания системы (см. § 16).
Важно подчеркнуть, что малость параметра а в сжатых системах отнюдь не
означает малости эффектов взаимодействия в целом по системе. Дело в том,
что в сжатых системах внутри радиуса действия сил находится много частиц,
поэтому полная энергия взаимодействия может достигать при этом заметной
величины и даже превышать значение полной кинетической энергии.
Перейдем к конкретному рассмотрению введенных параметров. Системы с
кулоновскими и короткодействующими силами требуют раздельного
исследования.
Система частиц, связанных короткодействующими силами, характеризуется
следующими величинами: массой частиц М, средней величиной потенциала
взаимодействия V0 * и радиусом действия сил R. Сюда следует еще добавить
среднюю плотность числа частиц р или связанное с ним среднее расстояние
между
частицами d = (/а . Если система находится в газоподоб-\4jiq/
ном (несвязанном) состоянии или подвергнута принудительному сжатию, то
величина d должна задаваться независимо, например через граничные условия
задачи. Если же система находится в связанном состоянии (например,
атомное ядро), то величина d может быть в принципе выражена через М, V0 и
R.
Система с кулоновским взаимодействием характеризуется меньшим числом
параметров: М, d и е (заряд частиц). Понятие радиуса действия для
кулоновских сил отсутствует. Заметим, впрочем, что имеется возможность
ввести понятие об эффективном радиусе действия сил, роль которого играет
радиус дебаев-ского экранирования [4, 39] (см. § 16 и 27):
(1-20)
( 4яое2У/г
где v0 - характерная величина скорости частицы; = I 1 -
частота плазменных колебаний.
При рассмотрении систем с короткодействующими силами речь будет идти
исключительно о случае нулевой температуры **. Для систем с кулоновскими
силами значительный интерес представляет также и противоположный
