Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
крайней мере в области невысоких энергий) на возможность качественного, а
в целом ряде отношений и количественного описания ядра.
Поэтому в дальнейшем при рассмотрении многонуклонной системы-будет
использован эмпирический парный потенциал взаимодействия. В целях
упрощения выкладок этот потенциал выбирается в следующей приближенной
форме * [31 ]:
V=V{a)+V{c)+V{k). (1.11)
Здесь V(а) - главная часть взаимодействия, обеспечивающая притяжение
между нуклонами. Она имеет характер сил Сербера:
Vw=Vw(r)S.
Функцию V(а) (г) можно аппроксимировать прямоугольной потенциальной ямой:
V(a){r) = -V о (с < г < а), V (а) (г) = 0 (Г<с, г>а).
Численно можно принять
V0= ... ,л гй-^28 Мэе,
0 AM (а - с)2
а ^ 2,3 ферма, с "=* 0,4 ферма.
На малых расстояниях действуют интенсивные силы отталкивания
вигнеровского типа ("твердая сердцевина") [35]:
1/(0 (г) = со (г С с); Vic)(r) = 0 (г>с).
Наконец, - кулоновское взаимодействие между протонами
[см. выражение (1. 10)].
Приведенное'выражение для V не отражает ряда особенностей реальных
ядерных сил: некоторого различия во взаимодействии в синглетном и
триплетном спиновых состояниях (для системы протон - нейтрон при четных
значениях орбитального момента /), отличия от нуля дальнодействующего
потенциала при нечетных I, заметной роли тензорных и спин-орбитальных сил
и т. д.
Следует, впрочем, заметить, что роль перечисленных эффектов заметна в
основном лишь с точки зрения задачи двух тел. При рассмотрении
интегральных характеристик многонуклонной системы вклад этих эффектов за
счет усреднения оказывается в значительной степени подавленным. Поэтому
потенциал (1. 11), будучи достаточно простым и удобным для расчетов,
отражает некоторые усредненные свойства ядерных сил, что делает его
пригодным для рассмотрения ряда задач теории ядерного вещества. Учет
перечисленных эффектов в рамках излагаемых ниже методов не вызывает
никаких принципиальных затруднений.
* Подробные сведения об общей структура ядерных сил можно найти в работах
[28, 32]. Сводка полуэмпирических выражений для V содержится в работах
[33] и в статье Хюлтена [34].
15
1. 5. Большим формальным неудобством выражения (1. 11) является
наличие явной бесконечности в потенциале V{C)- Хотя никаких трудностей
физического порядка при этом не возникает {дело сводится просто к
невозможности сближения нуклонов до расстояний, меньших с), проведение
соответствующих выкладок крайне усложняется. Если относительный импульс k
сталкивающихся нуклонов имеет достаточно малую величину
*с"1, (1.12)
то оказывается возможным заменить потенциал V(С) некоторым другим
эквивалентным ему потенциалом, не содержащим уже явных бесконечностей
[36, 37].
С этой целью рассмотрим несколько более общую задачу о рассеянии пары
изолированных частиц с потенциалом взаимодействия между ними V (г),
отличным от нуля лишь в области г < с; в частности, этот потенциал может
совпадать с У(С). Уравнение Шредингера в системе центра масс может быть
записано в виде (М - масса частицы)
(А + k2) ф (г) = MV (}) ф (г). (1.13)
Его решение в области г > с удовлетворяет свободному уравнению Шредингера
и имеет вид
ф(г) =ехр(г!г) + [а0(1)+ ах(1)-^р-+ . . . ] ар-^ ш (1.14)
Здесь аг (k) - парциальная амплитуда рассеяния с моментом /; мы
ограничились рассмотрением s- и p-волн, играющих при выполнении условия
(1. 12) определяющую роль.
В области г <] с решение уравнения (1. 13), разумеется, не имеет ничего
общего с выражением (1. 14). Однако при выполнении условия (1. 12) детали
поведения волновой функции внутри сравнительно узкой области действия сил
не должны играть существенной роли. Из-за соотношения неопределенностей
эффективное расстояние между частицами порядка 1 Ik > с. Поэтому частицы
в указанной области проводят сравнительно малое время. Можно поэтому
считать, что выражение (1. 14) справедливо не только при г > с, но и при
г <1 с. Соответственно можно поставить вопрос о нахождении такого
потенциала взаимодействия Кэфф, который приводит к выражению (1. 14),
справедливому при всех г.
Действуя оператором А + № на функцию (1. 14) и учитывая
соотношение AVr = -4я6 (г), можно написать для левой части уравнения (1.
13)
(А + k2) ф (г) = - 4я | а0 + ах ^ + . . . ^) б (г). (1. 15)
Сравнивая это выражение с правой частью уравнения (1. 13), можно найти
вид искомого потенциала Кэфф.
16
Рассмотрим сначала s-рассеяние, играющее основную роль. Исходя из легко
проверяемого соотношения
* (г) И> Й) = (1 + ikcto) б (г).
\
и сравнивая правые части уравнений (1. 15) и (1. 13), нетрудно прийти к
следующему выражению для искомого потенциала:
пФФ й = -^-tgs"w6(r)(iT4)' (Ll6>
где б0 (k) - фаза s-рассеяния
ao = -27?-[exP(2i&o)- П-
Для потенциала К(С) фаза б0 (k) = -kc и в низшем порядке по параметру kc
можно написать окончательно
v9ффй =^-6(0 (1 +4). (1. 17)
Потенциал (1. 17), носящий название псевдопотенциала, несравненно более
удобен для вычислений, чем исходный потенциал 1/(С>-
