Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
В рассматриваемом примере не только А, но и В зависят от оператора
импульса.
Соответствующий вклад в энергию нетрудно найти по общей формуле (4. 36)
(18.5)
fix, р' + р) -=е[роМ - (р' +р) ] -
->
(18. 6)
66 = 2fd3p0 (pl-p2)W(p),
откуда
•164
Зя2Л
Представляя объем системы в виде A!2q = где А - мас-
2Ро
совое число, имеем
с3рцА
6?-ТЕ". <18'7>
Аналогично вычисляется и вклад потенциала (18. 5).
18. 3. Подставим псев до потенциал (18. 3) в гамильтониан
взаимодействия (18. 1). Соответствующая величина параметра р0/ (см.
раздел 16. 8) равна р0с<С 1. Поэтому можно ограничиться учетом диаграмм
рис. 26 низшего порядка.
Рассмотрим диаграммы второго порядка. Соответствующее выражение для
энергии дается соотношением (15. 22). Однако требуется некоторая
осторожность при подстановке в эту формулу фурье-образа потенциала v (k).
Покажем, что в выражении (15. 22) можно положить v (k) -
= д ПС (как было бы при отсутствии оператора 1 + г - (5л ) ,
эфф \ /
одновременно заменяя комбинацию (1 -А/1-п Л
\ Pi + * ) \ Р2~к !
на (1 -п^ Л/1 -/г_> Д - 1. Сходную замену следует де-
V Pi + А/ V Рг-k 1
лать и в высших порядках теории возмущений.
Действительно, указанный оператор при действии на регулярную в точке г =
0 функцию сводится к единице (имеется в виду дальнейшее умножение на 6-
функцию), а при действии на выражение Р Г d р р-- обращает его в нуль. В
интеграл (15. 18) J ргАг \р)
входит произведение двух функций v. Подстановка в одну из них
псевдопотенциала (7. 16) требует учета оператора 1 + г -§р + Рл
что же касается другой, то там псевдопотенциал действует уже на
регулярную функцию - на правую обкладку матричного элемента. Поэтому мы
можем сразу положить в одном из сомножителей v = 4яс/Мэфф. Это даст
с п / 4л с \2
Е - Е
'° " ' /И,
эфф
п п (\-п+ -"wi- п+ _>) °1 Р2 \ n,-\-k ' V П. - k
/
Т1 П I 1 4|(1 *4-4 4 I ft
* Щг) (l+r± + tr)x
Pl+k p,-k Pt Рг J
X exp { - ikrj.
Ввиду того что состояния pi,2 лежат ниже, а рг + k и р2- k выше сферы
Ферми, интеграл по k можно фактически понимать
165
в смысле главного значения. Поэтому в Е - Е0 фигурирует интеграл
(! - "-> л
' Pi+* ' ^ Гг-* >
Г ' ->-*Л ~П-> (' -
Р I d3fe ехр (ik г )--------------т^-
J v ' Де(б)
на который действует псевдопотенциал. Этот интеграл при замене (1 - ri)
(1 - п) на 1 дает нулевой вклад. Поэтому, делая замену (1 - п) (1 - п) ->
(1 - ri) (1 - п) - 1, мы не меняем резуль-
тата. Однако интеграл по k становится регулярной функцией г
¦>
в точке г = О, поскольку в области больших k подынтегральное выражение
теперь равно нулю. Это позволяет отбросить оператор 1 + г ~ + $г и прийти
к окончательному выражению
0 = - 3 (2я)3 (-щ-)' j>pi dsp2 d*k х
пп пп Г(1-и-> -"W1-- Л
х ^-----L (.18. 8)
e;I+t + e;2-t"8pi ерг
Вычисление этого интеграла представляет собой нелегкую задачу, которую
следует упростить. Фактически интегрирование здесь совершается в
сравнительно узкой области около границы Ферми. Поэтому величина
интеграла изменится лишь незначительно, если заменить е-> на р2/2М0, где
М0 отнесено к границе
Р
Ферми. Используя результаты § 7, получим {у = ар0):
М . 3 У0Ма2 ( , . sin ?!/ 2 sin2 у
/И0 ' 2п у \ 1 2у уг
Подставляя это выражение в соотношение (18. 8), получим
?________________? ________________?_??_ С ^ \2 / (18 9\
? 4я* Af \ /Иэфф у М 1>
где
/ = I <fy>, d"p, d'tLV r "7'i
(щ 4- k) -|- \Pi k)
2 2 Pt-Рг
Вычисление I подробно описано в работе [37]. Окончательное выражение для
корреляционной поправки низшего порядка имеет вид
6(П 21п 2) с2р^ / м У (МЛ, /18 im
Е~Ео = зет----------------{м^;) \w)A•
18. 4. Корреляционную поправку третьего порядка по параметру ср"
вычислять не будем. В литературе имеются данные [31 ], касающиеся
суммарной величины этой поправки и вклада псевдо-
166
потенциала (18. 5) в случае квадратичного закона дисперсии.
Соответствующая величина имеет вид
0,13с3р5
= (18-П)
Учет неквадратичности закона дисперсии сказался бы на появлении
дополнительного фактора (М/Мэфф)3 (М0/М)2, связанного с наличием в
выражении для поправки третьего порядка двух энергетических знаменателей
и трех псевдопотенциалов. Этот фактор, однако, близок к единице, и мы
можем оставить выражение (18. 11).
Таким образом, полная энергия ядерной материи с учетом корреляций за счет
сил отталкивания может быть записана в виде
' 6(11-21п2)с"р* / м у М0 ,
1 35ят \ /Иэфф ) М
¦ 0,13с3Рп c3pl
+ -м±А+Ш>А' <18л2>
где Е0 дается выражением (7. 22).
Величина Е в отличие от Е0 уже имеет минимум при разумных
значениях р0. Это связано с быстрым ростом корреляционных
членов при р0 -> оо. Приведем окончательный результат для равновесных
значений р0 и Е [38].
Ро^ 1,4 ферми-\ )
Е/А ** -11 Мэе. ] (18.13)
Отдельные слагаемые энергии имеют следующую величину: кинетическая
энергия - 25 Мэе, энергия притяжения -- 68 Мэе, энергия отталкивания - 32
Мэе. При этом последняя величина слагается из четырех чисел, равных
соответственно 21; 6; 2,5 и 2,5 Мов. Первые три отвечают
самосогласованной части и двум первым корреляционным поправкам,
