Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
проведено некорректным образом. Тем не менее, общий качественный вывод о
существенной роли неоднородности в случае, когда отношение R/x0 не мало
по сравнению с единицей, полностью сохраняет свою силу (см. § 27).
145
Для решения поставленной задачи следует выбрать некоторую величину,
характеризующую рассматриваемую систему, и проанализировать относительный
вклад различных диаграмм, составляющих эту величину. В качестве такой
величины удобно выбрать энергию системы, которая является в значительной
мере типичной характеристикой системы: главные с точки зрения энергии
диаграммы вносят определяющий вклад и в другие величины, характеризующие
систему. По этому поводу необходимо сделать лишь следующее замечание.
Если рассмотреть выражение для энергии в импульсном представлении, то
нетрудно убедиться в том, что в него вносят основной вклад значения
энергии и импульса порядка соответственно энергии Ферми- и граничного
импульса. Поэтому намеченная программа не приведет к успеху в тех
(относительно редких) случаях, когда нас специально интересуют выделенное
значения энергии е' и импульса р', отличные от ef и р0. В этом случае
необходим специальный анализ, опирающийся на учет дополнительных
параметров e'/eF и р7р0.
Для исследования корреляционной энергии низшего порядка используем
соотношение (15. 22). Анализ диаграмм высшего порядка следует вести,
используя собственно энергетическую часть
2 (р, е): главной с точки зрения энергии является та совокупность
диаграмм, которая вносит определяющий вклад в величину 2 (р0> еД.
Вместо самой энергии удобнее иметь дело с безразмерной величиной
р = ME/Np20 ~ ME/Qpl. (16. 1)
При этом для корреляционной части энергии параметр
Р м 2 ер\; что легко вывести из соотношения (15. 14').
Ро
16. 2. Целесообразно начать с оценки параметра р для самосогласованного
взаимодействия. При этом мы частично воспроизведем результаты, полученные
в § 5-7.
В качестве параметра р следует выбрать отношение Рп"р М-~
Ро
для прямого и Роб - МА/р* для обменного взаимодействия.
Из выражения (4.30") имеем Рпр- Отсюда для
Ро
короткодействующих сил в случае сжатой системы можно написать
Pnp~aif- (16- 2)
Эта величина может оказаться значительной для сжатых систем даже в случае
малого а. Соответствующая причина уже обсуждалась в § 1 и 5. Для
разреженной системы имеем просто
Рпр-а. (16.2')
146
В случае однородной системы с кулоновским взаимодействием
Рпр = 0 (16.3)
вследствие полной компенсации зарядов системы и фона (см. § 5). Если же
система неоднородна, то JdgK "обрезается" на расстоянии порядка х! и
Отношение xjd имеет смысл числа частиц, приходящихся на длину характерной
неоднородности задачи. Обычно это отношение порядка Z1''", откуда
pnp~aZ2/3. (16.4)
И в этом случае Рпр может быть много больше а.
Переходим к оценке роли обменного самосогласованного взаимодействия.
Исходя из соотношения (4. 33'), имеем Л -J dpfv -
- gJdZVexp [i(PoS)]- В разреженных системах (p0Q С 1, и мы, возвращаемся
к той же оценке, что и для Рпр:
Роб-Рпр- (16.5)
В сжатых системах экспонента exp (ip0Q сильно осциллирует и результат
определяется поведением потенциала при малых |.
Если при этом V (?) - V0 (B/R)n (п > -3), то Л - V0 (d/R)n и
Po6~"/rf. (16.6)
В частности, для прямоугольной ямы, где п - О,
Роб(16.7) Для кулоновских систем, где п = -1, величина Л ~ e3/d и
аналогично
Роб~"- (16.8)
16. 3. Оценим вклад членов ряда теории возмущений. Начнем
с рассмотрения члена низшего порядка. Используя выраже-
ния (15. 22) и (16. 1), имеем
г пр1прг{1 - "-*• -*)
Р ~ ^S~ ( d3Pld3p2d3k р- ' I V (k) |2. (16. 9)
Ро J (pi + k) + {p2 - k) - p\ - pl
Для простоты считаем V функцией только координат и отбрасываем обменный
корреляционный член, содержащий оператор о)\ Кроме того, закон дисперсии
частиц выбран квадратичным. Сделанные упрощения не меняют порядка
величины результата.
Рассмотрим сначала разреженные системы с короткодействующими силами.
Условие разреженности означает, что характерный передаваемый импульс
k - 1/7? > р0, т. е. k/p0 - т)-1 > 1.
147
Поэтому пренебрегая величиной р1>2 по сравнению с k, находим
Г I !*\ |2 M2PnVnR3 P~M2A>J dk\ v(fe)| ~-----------------------.
Здесь учтено, что v-j* d^V ~ V0 R3. Наконец, вспомнив определение
параметра а, получаем окончательно
Р - а2/ г). (16.10)
16. 4. Переходим к рассмотрению сжатых систем. Проанализируем сначала
область интегрирования в выражении (16. 9), учитывая, что в силу условия
сжатости k ри. При этом одновременное
I -> ¦+ I
выполнение условий рь 2 < р0 и |plj2 ± k \ > р0 возможно, очевидно,
только для значений Р]>2, мало отличающихся от р0. Полагая р12 = р0 (1 -
ссцг)- можно написать {х-косинус угла
между р як)
Axi/po>ai>0 хх>0, 1
о х.<0.) (16' П)
Сокращение эффективной области интегрирования приводит к уменьшению
величины вклада корреляционных эффектов, причем это касается не только
члена низшего порядка, но и всех остальных членов ряда теории возмущений.
Поэтому, чем сильнее сжата система, тем более точным оказывается
