Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
об интегралах от сингулярных функций и правилах их вычисления.
В книге приняты следующие основные обозначения.
Постоянная Планка % принята равной единице.
Операторы обозначаются полужирным шрифтом, векторные величины снабжены
сверху стрелкой.
Координата q означает совокупность пространственной х, спиновой о и
изотопической т координат; координата х объединяет q и время t.
Соответственно
= $d*x = $dq$dt.
ОТ
9
Функции б (q - q') и б4 (л: - х') означают:
б (q - q') = Ь(х - х').даа'дхх-, б4 (х - х') = б (q - q') б (t - t').
Часто используется цифровое обозначение координат и времени:
(1 ) = (qv tx), jdl = jd%, 6(l~2) = 6i(x1~xi).
Трехмерный дифференциал импульса имеет следующий вид: d3p = (2к)~Чрх dpy
dpz.
Фурье-образ функции определяется соотношениями
/-> = j' dxf (х) exp (-ipx),
/ (х) = j dspf~> exp (ip x).
Вводятся также четырехмерные импульсы р = (р, е):
-> ->
(рх) = р х - et, diP = dsp^,
б4 (р) = б (р) б (е).
Четырехмерный фурье-образ определен согласно условию / (р) = j d*xf (х)
exp [-i (рх)},
/ (х) = J d*pf (р) exp [t (рх)].
Коммутаторы и антикоммутаторы операторов обозначаются соответственно
прямыми и фигурными скобками.
[а, Ь] = аЬ - Ьа, {а, Ь) = аЬ + Ьа.
* *
*
Автор глубоко признателен И. Е. Тамму и В. JT. Гинзбургу, по инициативе и
при поддержке которых было предпринято написание этой книги, Е. JT.
Фейнбергу, просмотревшему рукопись и высказавшему ряд ценных замечаний и
советов, и А. С. Давыдову, ознакомившемуся с первым вариантом рукописи.
Работая над книгой, автор учел замечания и советы большого числа лиц.
Всем им, в особенности В. Н. Алямовскому, Г. М. Ваградову, JI. В.
Келдышу, Е. С. Фрадкину и В. В. Шмидту, автор приносит глубокую
благодарность.
ГЛАВА I
НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
§ 1. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА И КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ МНОГИХ ЧАСТИЦ
1.1. Полевые методы квантовой теории многих частиц базируются в конечном
счете на обычном уравнении Шредингера:
Здесь Q = {qx, . . ., qN} - совокупность координат системы N
частиц; под qt понимаются как пространственные х(-, так и дискретные
(спиновые ot, изотопические х() координаты г-й частицы.
Гамильтониан Н считается заданной функцией координат, опера-->
торов импульса р = -/V и матриц, действующих на дискретные координаты.
В дальнейшем будем предполагать, что гамильтониан не зависит явно от
времени. Это позволяет ввести понятие о стационарных состояних системы,
отвечающих энергии E,j
Состояние с наименьшим значением энергии носит название основного. В
дальнейшем речь будет идти почти исключительно о стационарных состояниях
системы.
Волновая функция системы тождественных фермионов должна быть
антисимметричной функцией их координат. Определенным видоизменением
аппарата теории можно добиться распространения этого свойства и на
системы различных по своей природе частиц, если ограничиться
приближением, в котором их характеристики (массы, законы взаимодействия и
т. п.) совпадают. Важнейшим примером такого рода является система
протонов и нейтронов в пренебрежении их электромагнитными
взаимодействиями.
(1. 1)
? (Q, t) = exp (-Ш) ? (Q), (// - ?)? (Q) = 0.
) i
Антисимметрия волновой функции достигается при этом введением
дополнительной изотопической степени свободы частицы, позволяющей
трактовать протон и нейтрон как разные состояния единой частицы - нуклона
*.
1. 2. Гамильтониан системы может быть представлен в виде суммы двух
слагаемых Н = HF + Н,. Свободный гамильтониан HF представляет собой сумму
операторов кинетической энергии частиц и энергии их взаимодействия с
внешним полем U:
Т = ртм + и (q). J
Гамильтониан взаимодействия Н, содержит члены, отвечающие парному,
тройному и т. д. взаимодействию между частицами. Чаще всего приходится
иметь дело с парным взаимодействием
N
*/=4-2'^/ 0-4)
I. /=I
(штрих у суммы означает пропуск слагаемого с i =/).
В теории многих частиц потенциал взаимодействия V считается заданной
функцией координат частиц, их спинов, импульсов ит. п.**. Вид этой
функции выбирается либо из теоретических соображений (электромагнитные
взаимодействия), либо заимствуется непосредственно из опыта.
В некоторых случаях оказывается полезным введение эффективного потенциала
взаимодействия, нахождение которого требует уже специальных вычислений.
Так обстоит, например, дело при рассмотрении системы частиц двух сортов
(для определенности а и Ь), если частицы а интересуют нас не сами по
себе, а лишь с точки зрения их влияния на движение частиц Ь. Учет этого
влияния, сводящийся к исключению динамических переменных ча: стиц а,
приводит к эффективному изменению потенциала взаимодействия между
частицами Ь.
С подобной ситуацией приходится сталкиваться в проблеме сверхпроводимости
металлов, где объектом рассмотрения является система электронов и атомов
решетки. Эффективный потенциал взаимодействия между электронами,
учитывающий колебания решетки, может радикальным образом отличаться от
исходного кулоновского потенциала. Это обстоятельство лежит в основе
