Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
отсутствующим):
<§ = &(р) + &(п),
1 [ ^ - - I
^(0 = 4~ Г МО - J deC06(0 + S'Fd)% ' (7'
I СО I
где плотность числа соответствующих частиц
Со = 2 J d3pf(i) (х, р). (7.8)
Остается еще учесть кулоновское взаимодействие между протонами.
Соответствующий параметр взаимодействия (а0р0)~1-V30 (см. раздел 1. 8).
Отсюда следует, что нужно учитывать лишь прямое кулоновское
взаимодействие, которое можно записать в виде
в""- 2ЛуУ%/(иф, ;).
'кул I | -> -"; Г I (Р) У Р) •
Здесь и ниже индекс i означает р и п.
69
Соответствующий вклад в энергию
Полученные соотношения полностью эквивалентны уравнениям Хартри - Фока
для многонуклонной системы. Приближение Хартри - Фока довольно широко,
хотя и в сильно упрощенной форме, применяется в теории ядра, составляя
основу моделей, исходящих в той или иной форме из одночастичного описания
системы нуклонов [28, 34, 66]. Потенциал В - А при этом определяется не с
помощью процедуры самосогласования, а подбирается полуэмпирическим
способом.
7. 2. Для описания пространственно-однородного распределения нуклонов,
а также достаточно тяжелых ядер можно использовать приближение Томаса -
Ферми. Пренебрегая некоммута-тивностью операторов, входящих в выражение
(7. 6), имеем
Функцию распределения можно переписать и в более удобном виде:
где граничные импульсы протонного и нейтронного распределений
определяются уравнениями
Условие квазиклассичности требует достаточной гладкости обеих функций
pl(iy
Из выражения (7. 7) нетрудно найти плотность числа частиц и кинетической
энергии:
где
(7. 9)
-> = gn...
Р-*Ро (.) МО'
(7. 10)
(7. 11)
р <•>
10я2М
(7. 12)
Полная энергия системы определяется по формуле
ё ё k (у?) ё k (л) ё кул "
кул -----
+ уй") (S(C)U) + -4-^(0)(Я) + S(C)(P) Н 2~ ВЫ)(р)] +
+ J d3pd3p' {- /<р)/(р) (v(c) - -L V(a)) -
Аргументами функций распределения в выражении (7. 13) яв-
ляются соответственно р и р', функций v - разность р - р'.
Приведенные в этом разделе соотношения для однородных систем являются
прямым следствием уравнений Хартри - Фока. Для атомных ядер эти
соотношения также вытекают из уравнений Хартри - Фока, но только при
условии, что массовое число А достаточно велико.
В самом деле, распределение плотности нуклонов в тяжелом ядре можно
аппроксимировать следующим образом [67]. В центральной части ядра радиуса
-А'>* ферма плотность практически постоянна и имеет порядок 1 /фермы3. В
сравнительно узком поверхностном слое шириной порядка 1 фермы плотность
единицы в поверхностном слое. Нетрудно видеть, что эффективное значение
?2, усредненное по объему ядра, оказывается порядка А~1/з. Отсюда
следует, что, как и в случае атома, точность квазиклассического
приближения с ростом числа частиц увеличивается.
В отличие от рассмотренных в предыдущем параграфе систем с кулоновским
взаимодействием малость квантовых эффектов в рассматриваемом случае
отнюдь не гарантирует малости обменных эффектов. Оценим отношение
отдельных членов в выражении (7. 5) к кинетической энергии (~p%jMy Для
члена, отвечающего потенциалу , получаем величину порядка MVQip2Q. Таким
образом, как и для кулоновских систем, это отношение определяется
параметром взаимодействия а (см. § 1) и потому
спадает до нуля. Поэтому квантовый параметр |2
близок к нулю в центральной части ядра и порядка
71
немало. Аналогичное отношение для потенциала V(C) оказывается величиной
порядка ср0'. вклад того же порядка дает соответствующий потенциал
прямого взаимодействия В. Из сказанного следует, что пренебрегать
обменными членами в приведенных уравнениях нельзя. Это обстоятельство
сильно осложняет решение соответствующих уравнений.
С увеличением плотности относительная роль обменного потенциала по
сравнению с потенциалом прямого взаимодействия падает (для потенциала
1/(а) соответствующее отношение порядка (аро)-3). Это связано с тем, что
только член прямого взаимодействия учитывает эффект увеличения числа
частиц, находящихся в области действия данной частицы.
7. 3. Дальнейшее использование полученных соотношений
осложняется тем, что в них входят величины j dxV(C) (х) и v(c) (/?),
обращающиеся для потенциала "твердой сердцевины" в бесконечность. Прямой
переход к приближению Хартри - Фока для подобных потенциалов оказывается,
таким образом, невозможным.
Если бы кроме потенциала 1/(с) иных взаимодействий между частицами не
было, то при условии выполнения неравенства (7. 1) * указанная трудность
была бы легко преодолима. Следовало бы просто заменить потенциал V(C)
псевдопотенциалом, определяемым выражениями (1. 17)-(1. 19); тогда
последующий переход к приближению Хартри - Фока не встретился бы ни с
какими трудностями.
В рассматриваемом случае, однако, помимо сил отталкивания имеются также
силы притяжения, описываемые потенциалом V(a> (кулоновские силы с
интересующей нас здесь точки зрения несущественны). Возникает важный
вопрос о взаимном влиянии, интерференции взаимодействий 1/(с) и 1/(а).
Излагаемый ниже подход позволяет учесть главную часть этой интерференции
