Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
вычислительных машин, реальные возможности, которыми располагает теория
многих частиц, в целом еще довольно скромные (исключая теорию атома и
молекулы).
Главная причина эт-их трудностей состоит в том, что уравнение. Шредингера
со многими переменными, не распадающееся на независимые уравнения для
каждой из переменных, представляет собой в математическом отношении
несравненно более сложный объект, чем, скажем, уравнение Шредингера для
частицы во внешнем поле. В системе многих взаимодействующих частиц речь
должна идти именно о нераспадающемся уравнении Шредингера. Это
математически очевидное обстоятельство проявляется в физическом отношении
следующим образом. Вследствие неразрывной силовой связи отдельной частицы
с остальными частицами системы понятие о состоянии этой частицы, т. е. о
ее волновой функции, энергии и т. п., теряет свой точный смысл. Строго
говоря, речь может идти лишь о состоянии всей системы в целом. Поэтому
учет взаимодействия между частицами означает в то же время качественный
скачок в выборе самого объекта описания: в модели идеального газа таким
объектом могла служить каждая из частиц в отдельности, в то время как в
реальном случае - обязательно вся система в целом.
Из сказанного ясно, что решение задачи многих частиц может носить лишь
приближенный характер *. За последние десятилетия в теории многих частиц
было разработано большое число разнообразных приближенных методов. К их
числу относятся: теория возмущений, методы Хартри - Фока, Томаса - Ферми,
Дебая - Хюккеля, Бракнера, метод коллективных переменных и многие другие
[1 ]. Эти методы безусловно сыграли огромную роль в развитии
соответствующих разделов физики. Однако в целом ряде отношений состояние
теории многих частиц до последнего времени было малоудовлетворительным.
Прежде всего, многие из обсуждаемых методов очень громоздки. Этот упрек
относится, в частности, к "старой" теории возмущений, оперирующей
детерминантами Слейтера - Фока, сложными сум-
* Другой причиной приближенного характера решения многих задач являются
неточные сведения о характере взаимодействия между частицами (примером
может служить ядерное вещество). При этих условиях стремление к чрезмерно
точному решению уравнений теории едва ли имеет смысл.
4
мами и т. д. Попытки продвинуться в вычислениях дальше второго, максимум
третьего порядка, как правило, наталкиваются на серьезные технические
трудности. При этом возникает и ряд трудностей более глубокого характера.
Так, например, при вычислении энергии однородной системы появляются
фиктивные члены, растущие с увеличением объема системы быстрее первой его
степени. Весьма сложен также метод Бракнера [2], требующий проведения
трудоемких численных расчетов.
Далее, обсуждаемые методы имеют заведомо ограниченную и самое главное
далеко не всегда ясную из способа их формулировки область применимости.
Вопросы об условиях, которым должны удовлетворять характеризующие систему
параметры в области применимости данного метода, и об исправлении метода
при нарушении этих условий в большинстве случаев были разработаны
совершенно недостаточно.
Наконец, большую неудовлетворенность оставляло то обстоятельство, что
формулировки ряда методов теории многих частиц носят зачастую
искусственный, модельный характер и существенно меняются при переходе от
метода к методу. В результате в значительной степени была утеряна
глубокая внутренняя связь между разными методами, являющимися по своей
сущности не чем иным, как различными приближениями к точному уравнению
Шредингера.
В целом можно сказать, что необходимость замены отдельных частных методов
теории многих частиц единым, общим и достаточно простым аппаратом
ощущалась уже давно; в большой мере это диктовалось ростом круга и
сложности задач, стоящих перед теорией. Удовлетворяющие соответствующим
требованиям методы возникли, однако, лишь в самые последние годы. Эти
методы (для краткости будем называть их полевыми) являются прямым и
естественным развитием метода вторичного квантования и потому достаточно
просты и компактны.
Основной элемент полевого описания-функции Грина - содержит
многостороннюю физическую информацию о рассматриваемой системе;
извлечение этой информации производится путем весьма несложных
математических действий.
Анализ уравнений для функций Грина с учетом малости характеризующих
систему безразмерных параметров открывает возможность упрощения этих
уравнений. Существенную роль в этом отношении играет так называемая
диаграммная техника, позволяющая с помощью несложных правил получить
выражение для члена теорий возмущений сколь угодно высокого порядка.
Такой анализ даёт прямое и надежное обоснование "старых" методов теории
многих частиц, выясняет пределы применимости этих методов и позволяет их
уточнять.
Переходя к краткой характеристике полевых методов теории многих частиц,
сразу же отметим, что еще в первые годы становления квантовой механики
системы частиц в ней возник подход,
