Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
достаточно взять полусумму выражений (В. 18) и (В. 19). Это даст
/ =Р Г dx -ЦЦ-± J ф (X)
± яг
F(xA ф' [ХА '
(В. 201
Если имеется лишь один полюс с положительной производной, то
334
dx F (х)
dx F (х)
ф (х)
(-)
О
- 2яг
. F (хА
ф' (-4)
. F (хА 1 (2яг-Я2А
1 > Ф' (хА '
j" dx Е (х)
Ф (х){+) 1
I О
Ф (*)
"г F(Xi)
т -Т~/-Г ф (хг)
F (Xi)
¦ ЗТI j . j
ф (Xi)
(В. 21)
где верхнее значение отвечает замыканию интеграла в верхней, нижнее- в
нижней полуплоскости. Соотношения (В. 21) иллюстрируются рис. 71, а, б,
где указаны полюса подынтегрального выражения первых двух интегралов.
Нулевые значения этих интегралов соответствуют теореме Коши, так как при
указанных условиях внутри контура интегрирования полюсов вообще нет.
Что же касается интеграла в смысле главного значения, то он берется по
области, указанной на рис. 71, в жирной линией. При замыкании контура по
боль-
шой дуге видно, что этот интеграл равен интегралу по малому контуру С,-,
т. е. полувычету подынтегрального выражения в точке дг;.
В. 5. Факт исчезнования некоторых интегралов в соотношениях (В. 21)
имеет отношение к вопросу причинности. Рассмотрим интеграл по е, входящий
в функцию распространения (см. § 10):
1/9^ .
• <р'>0
(р'¦О
Рис. 70
оо
е - ev + id sign (ev - eF) '
exp (- (er)
(B. 22)
- OO
a
6
6
Рис. 71
где т = ^
12- При 8y <( 8/г сюда входит функция-------------- , при ev> гр
-
(е ev)(+)
функция
--------г---. Вводя числа заполнения nv= 0 (eF - ev), можно написать-
ч - ev)(-)
Возможность замыкания интеграла в верхней или нижней полуплоскости тесно
связана со знаком разности времен т. Записывая комплексное е в виде а +
ф, имеем
ехр (- г'ет) = ехр (- iax) ехр фт).
•С удалением от действительной оси, т. е. когда | [5 | оо, фактор ехр фт)
неограниченно растет при 0 и падает при рт<С 0. Замыкание возможно
лишь
в последнем случае. При т]> 0 замыкать следует в нижней ф <( 0)
полуплоскости, при т< 0-в верхней ф>0).
Непосредственно используя соотношения (В. 21), будем иметь
- i(l - nv)exp(- ievx) т > О JD 00)1
(D. ZZ )
inv ехр (-ievт) т < 0.
Таким образом, вперед по времени (т> 0) распространяются только частицы,
назад по времени (т<С 0) - только дырки. Это и является отражением
причинности. Соответствующий обход полюса [функция гб sign (ev - 8/.-) в
знаменателе] называется причинным (или обходом по Фейнману).
В. 6. Вычислим некоторые конкретные интегралы по энергии е от произве-
.дения нескольких функций Грина G^ (е).
Рассмотрим сначала произведение двух функций Грина
Г dt ,
"2iT И(r)
e^+j'Ssign^
М 1
bf)] х
X [е - ец2+ si8n (ед,- е^)]Г1 (в- 23)
В данном случае контур можно замыкать как сверху, так и снизу. Из
расположения полюсов подынтегрального выражения
->8f
В1, 2~
еа -
2
(6
1, 2
^1, 2 1 Kl, 2
находятся по одну сторону от границы Ферми, то
<е.
видно, что если энергии е
Hi
интеграл тождественно равен нулю. При этом оба полюса находятся по одну
сторону от действительной оси. При замыкании контура в противоположной
полуплоскости, согласно теореме Коши, получается нулевой результат. Таким
обра-.зом, нужно рассмотреть два случая: и <[ eF; е <ef и е )>
eF.
Для определенности будем замыкать контур в верхней полуплоскости. В
первом случае внутри контура интегрирования содержится полюс е = еДг -j-
/6. Вычет в нем равен * + гб)-1, значит,
/L '
id
Во втором случае нужно просто сделать замену индексов 1 ~^l2. Суммируя
^полученные результаты и вводя числа заполнения, можно написать
j.. 'б,, -f id
M-г Mi Mi
Перейдем к интегралу от произведения трех функций Грина
, j* d&i d82
+
о
М2
)лд,
еЙ2+г'6
J (2я)2
X [8,-
{ [еХ 8д,"Ь sign 8^)] X
Bn.+ rtslgn (еДг~ 8f)] X
[в, + 82 - 8йз+ гб Sign (8^- в;,)]}-1.
* Никакой разницы между 2г'б и гб при б -> 0, конечно, нет.
.-336
(В. 24)
(В. 25)
Произведем сначала интеграцию по е2. Соответствующий интеграл сводится: к
выражению (В. 18), если сделать замену - е±. В результате получим
выражение
8Цз~ 8Цз+ S." 81 + *'в
Повторный интеграл распадается на линейную комбинацию двух интегралов Р
7±= J ~Ш {[6l - ед.+16sign (em- е^)] [,ei + ед -еи"* Л]}"1-
В интеграле /_^ удобно произвести замыкание в верхней полуплоскости.
Единственный полюс, который нужно учитывать при е|1[ <ef, расположен в
точке 8Hi г^' ^Ри 8д 1 ^ rF все полюса находятся по одну сторону
действительной оси и вносят нулевой вклад. Таким образом,
т ___________________________
е -f е - е -f- г 6
(Я 1 1 Д 2 Д з '
Аналогично
-*(1-ям>)
8Й2- 8Цз ^
Окончательно
(1 - п.. ) (1 - п" ) п.. л" п.. (1 - п.. )
у V________Д1/ \____Дг/ Дз___________Д1 Дг V______Дз / /g 26f
еи +еи - еи -г'б в,, + 8" -е -ггб
Д1 1 Дг Дз Д1 ' Дг Дз
В некоторых случаях приходится иметь дело [с кратными полюсами.
Рассмотрим, например, интеграл
оо
г Г
_________________________F________________________________(в)____________
__________________.g 27\
J 2я . [в - ev + гб sign (ev - е^)]2 '
- оо
где функция F (е) не имеет особенностей в верхней (или нижней)
