Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Киржниц Д.А. -> "Полевые методы теории многих частиц" -> 122

Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.

Киржниц Д.А. Полевые методы теории многих частиц — М.: Наука, 1963. — 345 c.
Скачать (прямая ссылка): poleviemetoditeoriichastic1963.djvu
Предыдущая << 1 .. 116 117 118 119 120 121 < 122 > 123 124 125 126 .. 127 >> Следующая

I Ф (XI) I
Согласно соотношениям (В. 6), (В. 7), Р - является нечетной, 6 (ф) -
четной функцией ф. В принципе можно было бы нарушить эти свойства в
окрестности точек Xj, сохраняя в пределе правильные свойства
рассматриваемых величин. При этом результаты вычисления соответствующих
интегралов были бы иными.
Поэтому обычно требуют, чтобы функция Р - была пределом нечетной, а
6 (ф) - четной функции ф; иными словами, этими свойствами соответствующие
выражения должны обладать еще до перехода к пределу.
* Интервал интегрирования выбран таким образом, чтобы в него попал лишь
ОДИН ПОЛЮС X;.
331
Разлагая соотношения (В. 6) и (В. 7) в интеграл Фурье по ф, можно
написать интегральные представления рассматриваемых функций
1 1 Г
Р - = -^-lim I dt sign (t) exp (ity - 6 111), (B.8)
Ф 2г e-+o J
б(Ф) = -2^Пш f dtexp (B. 9)
OO
Можно показать, чт'о интеграл типа (В. 1), взятый для определенности
около одной из точек х/, имеет вполне определенную величину при
подстановке вместо 1/ф выражения (В. 5). В самом деле, в окрестности
точки xt можно сделать замену, аналогичную произведенной выше. Это даст с
учетом выражений (В. 6) и (В. 7)
х;+б
[ dx-^Щ- = 4т^- {In (Р/а) + А (х{)}.
J <Р(х) <р'(х() 1 1,1
xi~~a
Появление логарифма характерно для интеграла от главного значения
функции.
Таким образом, интеграл, содержащий как главное значение сингулярной
функции *, так и б-функцию, имеет вполне определенную величину.
В. 3. Особую роль в аппарате теории многих частиц играют следующие
линейные комбинации функций Р ~ и б (ф):
-- = Р - ± /яб (ф). (В. 10)
Ф(±) Ф
Общее выражение (В. 5) представляется через них таким образом
1 • Л iA \ 1 , 1 /, , iA \ 1 "
Ф " 2 ( ~я~) ф(+) + 2 ( ' я ) ф(_} ' ( • )
Функции -?- нетрудно выразить с помощью предельного процесса
*Р(±)
* lim -. (В. 12)
Ф(±) б-"о Ф -+- *'б
В этом можно убедиться, перенося мнимый член в числитель и используя
выражения (В. 6) и (В. 7).
С помощью интегральных представлений (В. 8) и (В. 9), можно выразить
в интегральной форме и функции -^-
*Р(±)
ОО
1 + sign (/)
<Р(±)
i | dt-+ ехр ("ф - б 111) (В. 13)
* Он носит название интеграла в смысле главного значения и обозначается
через
1 " " f , F
f dxP - F = P f dx-. J ф J Ф
332
или
Ф 4- гб
о
- г | dt ехр (itq> - 6 | / |), (В. 14>
1
О
Ф - г б
i j" dt ехр (it ф - б 11 j). (В. 15>
В. 4. При вычислении интегралов от сингулярных функций типа (В. 1)'
весьма удобно использовать методы теории функций комплексного
переменного,
F "
аналитически продолжая в комплексную плоскость переменной х.
Практически обычно приходится иметь дело со случаем, когда аналитиче-F
ское продолжение функции - в верхнюю или в нижнюю полуплоскости дает-
функцию, удовлетворяющую следующим двум свойствам. Во-первых, эта функция
убывает достаточно быстро на дуге большого круга * и, во-вторых, не имеет
в рассматриваемой полуплоскости иных особенностей, кроме полюсов. Снабжая
индексом ± интеграл, для которого эти свойства выполнены соответственно в
верхней и нижней полуплоскости, можно замкнуть контур интегрирования на
большой дуге
г' F (х)
/. = dX -г-г- ,
± ¦> фМ
с±
(контуры С± изображены на рис. 69). Используя теорему вычетов, можно
написать.
/± = ± 2яг^]выч (В. 16).
где сумма берется по всем полюсам подыинтегрального выражения внутри
контура, интегрирования.
Часть этих полюсов связана непосредственно с точками ху. Из соотношения
(В. 11) видно, что достаточно исследовать полюса лишь функции-5-.
^(±1
Эти полюса расположены вблизи точек лг,-, но находятся в комплексной
плоскости.. Полагая, что точка полюса лу, в которой ф (x,) ± ib - 0,
может быть представлена, в виде xi = XI + бд-j (6xi С xf), имеем ф' (лг,-
) блу ± гб = 0, откуда
б
xi = х; г -г--г .
Ф (Xi)
* Предполагается, что интеграл от по этой ду ге дает исчезающий вклад..
333-
Таким образом, рассматриваемый полюс функции
?(+>
лежит в нижнеи
^при ф'<0) или верхней (при ф'>0) полуплоскости; для функции
ф<-
наблюдается обратное положение (рис. 70). Что же касается вычета в этом
полюсе,
F (хА 1 ( . .А (х/) \
то он имеет вид , \ 1 + i -1-- соответственно для первого и второго
ф (хА 2 \ я /
слагаемого в выражении (В. 11).
Таким образом, вклад в I^ от полюсов х,- можно записать в виде
SfW(-wr±w)- <в'7'
i
где сумма берется по всем полюсам функции | . Кроме того, нужно
учесть
F 1
вычеты функции , не связанные с полюсами - .
Ф Ф
Рассмотрим некоторые важные частные случаи. Пусть в подынтегральном
выражении имеются только те полюса, которые связаны с точками х(-. Тогда
/± совпадет с выражением (В. 17). Полагая А (х) = -/я, можно написать
/ + = dx F (х)
1
Sw^r('--rfwr)- "*¦'*
Ф (х),
(-)
Иными словами, в этот интеграл дают вклад лишь те полюса ---, для которых
ф (х)
производная ф' (х,) отрицательна (или положительна). Аналогично, полагая
А (х) = 1я, найдем
/ + = Г dxF (х) , \ = я/ У , F"'\ (l ± ¦
(В. 19)
± J Ф М(+) 4й I Ч> (хА I V I ф (хА I
)
- оо i
.Для получения соответствующего интеграла в смысле главного значения
Предыдущая << 1 .. 116 117 118 119 120 121 < 122 > 123 124 125 126 .. 127 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed