Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
поляризационного оператора, получим
[ 1 - П (k, АЕп) v (Щ j d3py (р, k) = 0. (28. 9)
Таким образом, искомое значение энергии возбуждения является одновременно
полюсом эффективного потенциала и полюсом парной функции Грина.
Корни уравнения 1 = Пу были исследованы в предыдущем
параграфе, где величина АЕп обозначалась через м0 . На рис. 64
представлен ход зависимости АЕп от k. В области k, близких к kKp, мы
использовали более точное выражение для поляризационного оператора, в
котором сохранены члены k2/2M. Это выражение имеет следующий вид [95]:
п (*• ") = w (дА:In ? ¦+ Л,Л,In ? - 2 "fa), (28. 10)
где
Л - гч - kf>° k2
Al О - 0)
ь 2 - ш н- м 2М 9
Л kp° k2
Д3,4-" + -дГ+2ЛГ-
Положение критической точки /гкр определяется пересечением кривой АЕп,
отвечающей уравнению (28. 9), и кривой, соответствующей верхней границе
зоны индивидуальных возбуждений. При этом возникают следующие уравнения:
кцр \2 1
Ро / ^аоРо А?"кр
*KpWl + 2р°
Ро / V йкр
( Зяа0Ро \7" I \
"Г. \ 4 / V Ро 2р2 /
* То обстоятельство, что спины частицы и дырки одинаковы, свидетельствует
о равенстве нулю полного спина квазичастицы.
278
Приведенные соотношения справедливы, если &кр, а вместе с ним и k мало по
сравнению с граничным импульсом pQ. С ростом ро величина ?кр растет, но
слабее, чем р0; при не слишком высоких сжатиях kKp порядка импульса
Дебая.
Величина Л?кр в общем незначительно превышает лэнгмю-ровскую частоту coL.
Поэтому коллективному уровню отвечает сравнительно узкая область спектра.
В рассмотренном частном случае однородной системы затухание оказывается
точно равным нулю *. Поэтому фактически решена задача не только о
поведении квазичастицы, но и о нахождении истинного возбужденного уровня
энергии.
При выключении взаимодействия коллективное возбуждение переходит в
одночастичное. Интересно проследить механизм этого перехода. Обратимся с
этой целью к рис. 65 и рассмотрим квазичастицу с определенным импульсом k
(точка 1). При мысленном уменьшении заряда электронов е вся коллективная
ветвь опускается вниз, как это легко видеть из Рис. 65
выражений для и
А?кр; соответственно уменьшается и энергия квазичастицы. При некотором
определенном значении е коллективная кривая пройдет через точку 2,
лежащую на верхней границе индивидуальной зоны. При этом никакой разницы
между коллективным и индивидуальным возбуждением нет. При еще меньших
значениях е остается лишь индивидуальное возбуждение. Аналогично, но в
обратном порядке происходит образование квазичастицы при включении
взаимодействия.
28. 4. В случае коллективных колебаний неоднородных систем следовало бы
исходить из общих уравнений (28. 5) и (28. 6). Однако это привело бы к
весьма громоздким выкладкам [78]. Мы ограничимся рассмотрением
слабонеоднородных систем [94].
Если выполнено условие
X0k0 1,
где х0 - характерная длина неоднородности, то возможна "ква-зиоднородная"
формулировка задачи, т. е. можно пренебречь градиентами величин,
характеризующих распределения по системе.
* Этот вывод справедлив с точностью до малых (в случае сжатой системы)
членов, описывающих распад квазичастицы на два индивидуальных
возбуждения.
279
Рассмотрим с этой точки зрения уравнение (28. 6). Подставляя в него
выражения для функций Грина в квазиклассическом приближении, можно
написать
(*i) = j d3kv{ k) П [k, АЕп, р0 (х^] j йх2Фп{х2) exp (- ik x)>
где Ф" (ху) = Ф" (qlt qx), x = x1 -x2.
Здесь мы явно выделили в поляризационном операторе зависи-
->
мость граничного импульса от точки хг.
Нетрудно проверить, что это уравнение эквивалентно следующему:
Ф/i (-*т) = v(-1'УХ)П(-iV1( АЕп, p0(Xj)) Ф" (xj), (28.11)
где мы формально заменили k на оператор -iyu который действует только на
функцию Ф"(хх).
С учетом слабого изменения функции р0 (х) полученное уравнение можно
заменить следующим:
[Д + 62(х)]Ф"(х) =0, (28.12)
где величина k (х), имеющая смысл переменного в пространстве волнового
вектора квазичастицы, получается из уравнения
1 = v [k (х)] П [k (х), АЕп, р0 (х)] (28. 13)
и зависит от энергии возбуждения АЕп, которая определяется уравнением
(28. 12) с соответствующими граничными условиями.
Для доказательства следует учесть, что поляризационный оператор является
четной функцией k, т. е. зависит фактически лишь от k%. Поэтому
подстановка в уравнение (28. 11) вместо Ф" решения уравнения (28. 12)
приводит с учетом соотношения (28. 13) к тождеству.
Уравнение (28. 12) играет роль своеобразного уравнения Шредингера для
квазичастицы*. Для его решения можно применять известные методы квантовой
механики. Функция &2 (х), как и р0 (х), слабо меняется в пространстве.
Поэтому можно искать решение уравнения (28. 12) в квазиклассическом
приближении. В частности, для s-волны и центральносимметричного р0 (х)
Фи = 1/тщ ехр ^ $dxk (28'14)
* Однако функция Фп не является волновой функцией квазичастицы.
280
для нахождения спектра можно использовать равенство <j> k (х) dx = 2л (п
+ 1/2).
28. 5. Рассмотрим задачу о коллективных колебаниях тяжелого атома [94],
