Полевые методы теории многих частиц - Киржниц Д.А.
Скачать (прямая ссылка):
индивидуальное (механизм этого перехода будет рассмотрен ниже).
28. 2. Переход системы в коллективное возбужденное состояние можно
интерпретировать как рождение квазичастицы, представляющей собой
связанное состояние частицы и дырки *. Волновая функция такого состояния
может быть представлена в виде суперпозиции волновых функций, отвечающих
индивидуальным возбуждениям различных частиц системы. Это обстоятельство
и служит отражением коллективного характера рассматриваемого состояния
**.
Коллективные уровни энергии существуют далеко не во всех системах. К
числу условий, выполнение которых необходимо для появления таких уровней,
относится прежде всего требование о преобладании сил отталкивания между
частицами системы. Выполнение этого условия гарантирует существование сил
притяжения между частицей и дыркой.
Далее, в разреженной системе силы взаимодействия между частицами не могут
привести к появлению согласованных движений большого числа частиц (в
таких системах существенны лишь парные корреляции между частицами). И
даже если движение такого рода в какой-то момент искусственно создано,
спустя короткое время оно перейдет в совокупность не связанных между
собой индивидуальных движений. Таким образом, вторым условием
существования коллективных уровней является сжатость системы, т. е.
наличие сравнительно большого числа частиц в сфере действия каждой из
них.
Волновая функция коллективного возбужденного состояния системы имеет вид
следующей суперпозиции:
'РЛЛО = V Га, + + +а_ЛЧ, (28.1)
/>, t p+k р р, k p+k pj
->
Р
где а, а' -некоторые коэффициенты [95]. Если теперь рас-
смотреть зависимость этих коэффициентов от k - суммарного
импульса квазичастицы, то окажется, что с ростом k относительная величина
одного из коэффициентов а-> -> увеличивается
р, k
за счет остальных. При некотором определенном значении k = = kKp (см.
рис. 64) остается только этот коэффициент, и квазичастица, как говорят,
"раздевается", превращаясь в индивидуальное возбуждение. Значит,
необходимо рассматривать лишь сравнительно длинноволновые возбуждения,
для которых
______________________________ k < kKp. (28. 2)
* Точнее, нужно говорить о состоянии системы частица - дырка с дискретным
уровнем энергии.
** Здесь и ниже речь будет идти о коллективных возбуждениях, отвечающих
одной связанной паре. В принципе возможно образование и более сложных
комплексов.
276
В неоднородной системе сама величина k не является определенной ввиду
обмена импульсом между квазичастицей и неоднородностями системы. Мерой
величины этого обмена может служить обратная длина неоднородности 1/х0,
где х0 - расстояние, на котором характеристики системы меняются заметным
образом. Поэтому при нарушении условия
Kv - k> 1/х0 (28.3)
имеется конечная вероятность перехода квазичастицы в. индивидуальное
возбуждение. Есть и другие причины, по которым рассматриваемая
квазичастица может оказаться неустойчивым образованием. Необходимо, чтобы
соответствующее затухание было мало по сравнению с самой величиной А?"*.
28. 3. Переходим к количественному описанию коллективных колебаний.
Поскольку квазичастица образована из пары частица - дырка, следует
рассмотреть величину
Ф"(1, 2) = (Ч' |Т(^г(1)^+(2)|Ч^),
которая в случае сжатой системы определяется уравнением (25. 15)
Ф"(1,2) = Ф"(1,2)-
- i j d3 d4G0 (1,3)G0 (3, 2) V (3, 4) Ф" (4, 4). (28. 4)
Функция Ф" (1, 2) описывает распространение не коррелированных
друг с другом частицы и дырки и не имеет отношения к их
связанному состоянию. Поэтому мы можем ограничиться рассмотрением
однородного интегрального уравнения.
Функция Ф" (1, 2) характеризуется следующей зависимостью от времени:
Фп(1, 2)|,,_^0=ехр (-1ЛЗДФЛ(<?1, %)•
Подстановка этого выражения в уравнение (28. 4) приводит с учетом V (3,
4) = V (q3, q4) б (t3 - (4) к следующему интегральному уравнению для
функции Фп (qu q2):
J* (* g
фп. (9i, <7г) = - i j dq3 dqA J G0 (qx, q3, e) G0 (q3, qt, в - AEn) x
X V (q3, 94) Ф" (<74, <74). (28.5)
Если положить qx = q2, то получится уравнение
фп (9i, 9i) = - i j dq3 dqAV (q3, qj | G0 {qv q3, в) X
X G0{q3, qlt в A?")Ф"(qlt g4), (28.6)
которое при наложении определенных граничных условий может служить для
нахождения спектра возбуждений АЕп.
* Говоря о затухании, мы имеем в виду не истинно стационарное состояние
системы, а то состояние, которое возникает при определенном механизме
возбуждения системы, приводящем к рождению одной квазичастицы (см. § 22,
24).
277
Полученные уравнения сильно упрощаются в случае пространственно-
однородной системы. Будем рассматривать функцию Ф" (qu q2) вида *
ФЛ<71> <72)= U3P*p(a &)exp{i [(р + Т)^ - р?2]}б0102. (28.7)
-> -> -> ->
Здесь р + k - импульс частицы; р - импульс дырки; k - суммарный импульс
квазичастицы. Подстановка выражения (28. .7) в (28. 5) дает
Ф (Р, Ц = - 2IV (1) f G0 (р, е) G0 (р + k, е + АЕп) х
X
J* d3p'(p (р', I). (28. 8)
Интегрируя обе части этого уравнения по р и учитывая определение
