Большие системы. Связность, сложность и катастрофы - Касти Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Q3; A2(q) = q + 2(n"od3).
Пространство Qi, на первый взгляд излишне сложное, оказывается вполне
оправданным для более сложных систем 2, например в случае симметрий более
общего вида, где могут присутствовать отображения типа отображений К3. В
то же время пространства Q2 и Q3 не допускают очевидных обобщений на
более сложные случаи с сохранением простоты вычислений.
Способ выбора конкретного пространства состояний системы называют ее
координатизацией. При этом важно установить, всегда ли существует
координатизация, которую можно считать "хорошей" с точки зрения описания
поведения системы1). Ключевым моментом проблемы координати-зацйи является
алгебраическая структура модели системы в пространстве состояний.
Действительно, согласно известной теореме декомпозиции Крона - Роудза,
для конечных полугрупп существует связь между произвольными
преобразованиями на конечном пространстве состояний и определенными
удобными способами координатизации.
Энтропия и потенциальная функция
При изучении системы с более "целеустремленной", или информационно-
теоретической, точки зрения описание системы дается на языке энтропии и
потенциальных функций. По •аналогии с классической механикой и теорией
поля можно рассматривать реакцию системы на внешнее воздействие как
динамическое изменение состояния системы, в процессе которого она
стремится минимизировать некоторую потенциальную функцию. В зависимости
от конкретного вида си-гедемы и принятых допущений такая динамика может
быть локальной в смысле движения системы к относительному минимуму,
ближайшему к текущему состоянию, или глобальной
-) В дальнейшем мы уточним, что следует понимать под хорошей
квординатизацией, и покажем, что такая координатизация возможна для вссл
систем, имеющих конечное число конфигураций по отношению к переходам в
пространстве состояний.
24
Основные понятия и методы¦ системного анализа
в смысле движения к абсолютному (глобальному) минимуму соответствующей
потенциальной функции (рис. 1.4).
Приближенно описание динамического процесса на языке потенциальных
функций включает следующие составляющие:
- пространство состояний (фазовое пространство) X,
- набор входных функций Q,
- гладкое отображение f: X У.
где R есть пространство действительных чисел. При этом предполагается,
что система ведет себя так, что при фикси-
ffa'i а)
=-•- х(а)
Рис. 1.4. Описание системы с помощью потенциальной функции, в-основная
идея; б-движение клональному минимуму; в -движение к глобальному
минимуму; х (а)-начальное положение системы, где а-внешний параметр; f(x,
а) - потенциальная функция. Замена параметра а на а* приводит к изменению
положения
минимума функции f.
рованном входе beQ ее наблюдаемое состояние соответствует локальному
минимуму функции f.
Использование потенциальных функций для описания хорошо изученных
физических систем оказалось весьма удачной альтернативой внутренних
описаний. Успешное применение такого подхода в классической физике
обусловлено существованием незыблемых вариационных принципов, таких как
принципы Гамильтона, Ферма и Даламбера. В большинстве случаев внутреннее
описание физического процесса на языке потенциальных функций естественным
образом вытекает из описания с помощью потенциальных функций в силу
уравнений Гамильтона - Як°би и Эйлера - Лагранжа.
Основные понятия и методы системного анализа
25
В системах, которые являются предметом изучения общественных наук,
возможность использования подобного Фйясания не столь обоснована из-за
сложности применения Вариационных принципов. Однако в ряде случаев при
анализе устойчивости или в теории катастроф знание точного вида
потенциальной функции не является необходимым для фйредёления важных
качественных свойств системы - важен йй'шь сам факт ее существования (гл.
5).
С описанием системы на языке потенциальных функций тесно связана идея
описания поведения систем с помощью энтропии. Как известно из
классической термодинамики, §#тропия является мерой беспорядка,
существующего в данной физической системе. Мерой упорядоченности системы
является отрицательная энтропия, или негэнтропия. В основе описания
динамического процесса с помощью энтропии лежит предположение о
преобразовании системой негэнтропии входа в информацию. Это означает, что
все замкнутые системы изменяются таким образом, что минимизируют
изменение энтропии. Таким образом, становится очевидной связь между
описаниями на языке потенциальных функций и энтропии.
Чтобы показать общность описаний в терминах энтропии, перечислим основные
аксиомы релятивистской теории информации, развитой Джюмэри для
динамических процессов.
Аксиома 1. Система 2 является частью некоторой вселенной °11 и
развивается* только постольку, поскольку она преследует некоторую цель v.
_ Аксиома 2. Для достижения цели v система 2 воспринимает информацию / из
окружающей среды и использует эту информацию для перестройки собственной
организации (внутренней структуры) а, в результате которой увеличилась бы
