Большие системы. Связность, сложность и катастрофы - Касти Дж.
Скачать (прямая ссылка):
матрица А устойчива, а для элементов Л и В как возмущаемых известны
только верхние и нижние границы их значений. Наша задача состоит в том,
чтобы найти такой закон управления обратной связью и = и(х), чтобы
система была глобально асимптотически устойчивой при всех ограниченных
возмущениях v и всех допустимых матрицах Л и В.
Принимая разумные, но технически сложные предположения о
неопределенностях в Л и В и возмущениях v, можно показать, что i-я
компонента закона стабилизирующей нелинейной обратной связи-задается
равенством
Здесь Р является решением матричного уравнения Ляпунова
РА + А'Р + Q = 0, Q > 0 произвольно,
х - Ах + Ви + Cv, л:(0) = с,
ui
- Рг (*) sgn [(bh Рх)], х ф. Nt, е{^е/?:|^г|<рг(А1:)},
bi - i-й столбец матрицы В, pr-(лт) - функция, которая зависит от границ
неопределенностей в Л, В и возмущениях
Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем 207
v, (•, •) обозначает внутреннее произведение. Множество Ni определяется
как
Ni = {х €= Ra : (bh Рх) = 0}.
Таким образом, используя закон обратной связи "(л:), линейную систему
можно сделать асимптотически устойчивой при любых ограниченных по
величине неопределенностях в матрицах А, В и ограниченных возмущениях v.
Более детальное рассмотрение этого результата вместе с информацией о
методе вычисления функций р,- можно найти в статьях, ссылки на которые
даны в конце главы.
ЛИТЕРАТУРА
Исторически первые математические работы по изучению устойчивости систем
были стимулированы развитием небесной механики в семнадцатом столетии.
Проблема стабилизации механических систем посредством обратной связи
относится ко времени исследований Максвелла об управлении паровым
двигателем Уатта. Некоторые из этих основополагающих работ приведены в
сборниках
Bellman R., Kalaba R., eds., Mathematical Trends in Control Theory,
Dover, New York, 1964;
Aggarwal J., Vidyasagar М., eds., Nonlinear Systems: Stability Analysis,
Dowden, Hutchinson and Ross, Stroudsburg, Pennsylvania, 1977.
Внешнее описание
Основные результаты для нелинейных систем, представленных внешним
описанием, появились в работах Сандберга и Зеймса, которые при изучении
свойств устойчивости использовали методы функционального анализа:
Sandberg 1. W., On the Z.2-Boundedness of Solutions of Nonlinear
Functional Equations, Bell Syst. Tech. I., 43, 1581-1599 (1964);
Zames G., On the Input/Output Stability of Time - Varying Nonlinear
Feedback Systems-I, II, IEEE Trans. Autom. Control, AC-11, 228-238, 465-
476 (1966).
Внутреннее описание
Классическая теория устойчивости по Ляпунову детально изложена в
следующих книгах:
Hahn W., Stability of Motion, Springer, New York, 1967.
Lasalle J., Lefschetz S., Stability by Lyapunov's Direct Method with
Applications, Academic, New York, 1961.
[Имеется перевод: Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследования устойчивости прямым
методом Ляпунова. - М.: Мир, 1964.]
Casti J., Dynamical Systems and Their Applications: Linear Theory,
Academic, New York, 1977, Chapter 7;
Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1975.
208 Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем
Структурная устойчивость
Одной из лучших вводных работ по качественной теории устойчивости
является книга
Hirsch М., Smale S., Differential Equations, Dynamical Systems and Linear
Algebra, Academic, New York, 1974.
Связная устойчивость и адаптируемость
Концепция связной устойчивости в различных ее контекстах интенсивно
изучалась Д. Сильжаком. Обзор результатов этих работ можно найти в
статьях
Siljak D., Stability of Large-Scale Systems under Structural
Perturbations, IEEE Trans. Syst. Man Cybern., SMC-2, 657-663 (1972);
Connective Stability of Competitive Equilibrium, Automatica, 11, 389-400
(1975).
Понятие связной устойчивости первоначально возникло в связи с вопросами
равновесия в экономике. См. работы
Quirk J., Saposnik R., Introduction to General Equilibrium Theory and
Welfare Economics, McGraw-Hill, New York, 1968;
Arrow K., Hahn F., General Competitive Analysis, Holden-Day, San
Francisco, 1971;
Newman P., Some Notes on Stability Conditions, Rev. Econ. Stud., 72, 1-9
(1959).
Графы и процессы распространения возмущений
Процессы распространения возмущений в графах и возникающие при этом
представления об устойчивости изложены в книге Roberts F., Discrete
Mathematical Models, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1976.
Интересное применение этого аппарата к проблемам энергетики можно найти в
работах
Roberts F., Brown Т., Signed Digraphs and the Energy Crisis, Am. Math.
Monthly, 82, 577-594 (1975); Building and Analyzing an Energy Demand
Signed Digraph, Environ. Planning, 5, 199-221 (1973).
Устойчивость системы "черный ящик" с обратной связью
Теорема о малом коэффициенте усиления и теорема инертности приведены в
статье
Zames G., Falb P., Stability Conditions for Systems with Monotone and
Slope-Restricted Nonlinearities, S/-4A1 I. Appl. Math., 6, 89-108 (1968).
