Большие системы. Связность, сложность и катастрофы - Касти Дж.
Скачать (прямая ссылка):
достаточных условиях существования таких "свободных от бифуркации"
законов управления. Эти условия обычно являются почти тривиальными
следствиями следующего варианта общей теоремы о неявной функции. Общая
теорема о неявной функции.
Пусть
/: EnXEmXEk -> Еп
- непрерывно дифференцируемое отображение. Тогда существует
единственное непрерывно дифференцируемое отображение
g: Еп X Em X Ек -* Еп,
такое, что g(y, и, а) = х для всех х, у е Еп, и е Ет, а е Ек,
удовлетворяющих f(x,u,a) = y, если выполняются условия:
1) <М[д//дл:]=^ 0 для любого {х, и, а) е Еа X Em X Ек,
2) для любых и е Ет, не Ек
II / {х, и, а) || > оо при II х II -*¦ оо.
По существу, теорема о нея-вной функции дает достаточные условия, при
выполнении которых уравнение
f(x,u,a) = y
имеет единственное решение для (х, и, а, у) во всей области ?ПХ Ет + ?*Х
Еп. А именно, если матрица Якоби функции / не вырождена в интересующей
нас области и / удовлетворяет условиям роста (2)-, то / глобальна
обратима.
Чтобы применить общую теорему о неявной функции, к проблеме управления
бифуркацией, достаточно заметить, что по предположению f имеет в начале
координат точку равновесия. Кроме того, если существует закон управления
и(х), такой, что [df/dx] не вырождена во всей области (х,и,а) и f(X,
и(х), а) удовлетворяет условиям роста (2) для. всех а, то это означает,
что у функции"н?т_ других точек равновесия и, следовательно, нет точек
бифуркации. Иными словами, такой закон управления и(х) гарантирует, что
никакие возмущения
Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем 205
а не могут привести к бифуркации точки равновесия в начале координат и
дать качественно другой тип поведения. Приведенный анализ, несмотря на
свою простоту, может быть положен в основу успешного применения техники
линеаризации к управлению проектирования системы.
Более сложная проблема - проектирование таких регуляторов, которые не
дают характеристическим корням линеаризованной системы пересекать мнимую
ось. Однако для канонических моделей катастроф эта проблема легко
разрешима, так как поведение подобных моделей хорошо изучено, например
поведение канонической модели сборки
х = - (х3 -J- ахх + а2).
Закон обратной отрицательной связи для переменной управления а2 имеет вид
а2 = - {К\Х + Ко),
где Ки К2 - постоянные. Такой закон обратной связи приводит к замене
- Ки Выбирая К\ так, чтобы иметь
а\ > 0, можно добиться отсутствия резких "скачков" из области одного
аттрактора в область другого аттрактора. Однако в случае неканонических
моделей, когда используются физические переменные, а не канонические
координаты, управляющие параметры часто являются нелинейными функциями
физических переменных, и поэтому закон обратной связи для х вызывает
изменение более чем одного параметра канонической модели. В таких
ситуациях построение свободных от бифуркации законов управления является
более сложной задачей, хотя в этом случае может быть использован наш
общий метод.
УПРАВЛЯЕМАЯ АДАПТИРУЕМОСТЬ
В предыдущих разделах были даны различные определения адаптируемости
динамических процессов. Однако все они требовали от адаптируемой системы
способности сохранять свое поведение, независимо от воздействия
различного вида возмущений. Поскольку наша основная цель - анализ
устойчивости, то будет исследоваться вопрос глобальной асимптотической
устойчивости (в смысле Ляпунова) систем, в которых допускается
неопределенность в динамике, в параметрах системы и, возможно, в самих
управляющих воздействиях. Мы не будем, как обычно, предполагать, что a
priori заданы некоторые статистические свойства неопределенностей, а
потребуем только, чтобы неопределенности были ограниченны. Наша цель -
научиться находить такие
206 Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем
законы управления с обратной связью, которые гарантировали бы глобальную
асимптотическую устойчивость при любых ограниченных возмущениях системы.
Очевидно, что если рассматривать асимптотическую устойчивость как
свойство поведения системы, которое должно сохраняться вопреки внешним
воздействиям, то систему, управляемую законом обратной связи подобного
типа, действительно. можно считать адаптируемой! Такой подход к
адаптируемости - это другое выражение смысла замечаний, сделанных выше, а
именно не обязательно рассчитывать устойчивость системы в начале
проектирования, так как желаемые свойства устойчивости обычно можно
достигнуть введением подходящих контуров обратной связи. Для успешного
разрешения поставленных проблем в общем случае требуются значительные
дополнительные сведения, поэтому рассмотрим только линейный случай.
Основные результаты верны и для нелинейных систем, но их понимание
требует значительной математической подготовки.
Итак, рассмотрим систему, описываемую линейными дифференциальными
уравнениями
где и - m-мерный вектор управлений, v - /-мерный вектор возмущений, а Л,
В и С - постоянные матрицы нужных размеров. Кроме того, предположим, что
