Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Касти Дж. -> "Большие системы. Связность, сложность и катастрофы" -> 73

Большие системы. Связность, сложность и катастрофы - Касти Дж.

Касти Дж. Большие системы. Связность, сложность и катастрофы — М.: Мир, 1982. — 216 c.
Скачать (прямая ссылка): bolshiesistemisvyaznost1982.pdf
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 .. 79 >> Следующая

полюсов может быть произвольным образом изменено при помощи линейной
обратной связи.
Трудно переоценить важность теоремы о смещении полюсов для практики,
поскольку она позволяет обеспечить существенную гибкость в
конструировании системы.
Проектировщику не надо беспокоиться о расчете определенных характеристик
устойчивости системы, так как любые нестабильности в ее поведении могут
быть устранены в соответствии с подходящим законом управления с обратной
связью.
Пример. Равновесие в групповых взаимодействиях
Рассмотрим формальную модель социальных взаимодействий Хоманса в
математической постановке Симона. Модель системы содержит четыре
переменные:
интенсивность взаимодействия (или коммуникаций) между членами
рассматриваемой группы, T'(t);
степень дружелюбия (или групповая идентификация) членов группы;
общая степень активности членов группы, W(l)\
степень активности воздействия внешней среды на группу (необходимая для
выживания группы), Р{1).
Предположим, что переменные /, W, Т представляют собой отклонения
характеристик от некоторого желаемого идеального уровня (I = W = Т = 0) и
система, подверженная некоторым возмущениям, отклонена от этого уровня.
Цель нашего исследования - показать возможность стабилизации процесса
взаимодействия путем изменения внешней среды.
202 Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем
Переводя словесные постулаты. Хоманса о взаимосвязях указанных переменных
на язык дифференциальных уравнений, получим следующую математическую
модель процесса взаимодействия:
TT-HT-tn.
iE-=Cl(i-iW) + c*(P~W),
Т = ci\I -f- .
Параметры а\, а2, С\, с2, у, Р и Ь представляют величины различных сил
взаимодействия и константы пропорциональности. Первое уравнение можно
интерпретировать следующим образом: степень симпатии возрастает или
убывает в зависимости от разности между активностью взаимодействий и
существующим уровнем симпатии. Аналогично могут быть интерпретированы и
другие уравнения.
Проводя несколько простых алгебраических преобразований, можно свести
систему уравнений к стандартному виду
х = Fx + Gu,
где
Р=ГЧЯ1-Р) Ьа2 1 'Л сх -(А-у + Сг)] '
* = ('), U-P.
Для определенности будем считать, что
ciY + c2<b(al- Р),
т. е. характеристические корни матрицы F неустойчивы. Теперь необходимо
установить, можно ли найти линейную обратную связь, зависящую от
наблюдаемых величин степени дружелюбия и групповой активности, которая
сместила бы корни характеристического многочлена F в левую полуплоскость.
Другими словами, необходимо определить закон
P(t) = -(klI + kaW),
по которому стабилизируется система 2. Очевидно, что эта задача
представляет собой слабую версию задачи смещения полюсов, где множество Л
является подмножеством левой полуплоскости.
Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем 203
Сначала проверим реализуемость системы 2. Легко показать, что матрицей
разрешимости <!Г является матрица вида
О Ьа2с2
с2 - с2 (ciY "Ь сг)
имеющая ранг 2 тогда и только тогда, когда
bci2c2 0.
Согласно теореме о смещении полюсов, если Ьа2(с2 ±0), то нет
математических трудностей для нахождения закона обратной связи P(t), по
которому система стабилизируется до желаемой степени. Если система 2
устойчива, то можно использовать закон P(t) для повышения степени
устойчивости, смещая для этого корни F еще дальше в левую полуплоскость.
Основным недостатком теоремы о смещении полюсов является ее применимость
только к линейным системам. Однако диапазон ее применимости может быть
значительно расширен при помощи теоремы об устойчивости Пуанкаре -
Ляпунова. Можно показать, что если система описывается дифференциальными
уравнениями
х = Fx + h (х), х (0) = с,
где норма ||с|| достаточно мала, а ||Л||/||л:||-*-0 при ||л:||-*-0, то
асимптотическая устойчивость системы определяется ее линейной частью, т.
е. матрицей F. Таким образом, вводя в систему слагаемое, соответствующее
управлению, получим систему
х - Fx + h (я) + Gu, -к(0) = с,
к которой применима теорема о смещении полюсов. Следовательно, можно
сместить корни F в нужную точку плоскости, гарантирующую устойчивость
системы. Условие на ||с||, зависящее от корня характеристического
многочлена F с наибольшей вещественной частью, может быть значительно
ослаблено за счет смещения этого корня еще дальше в левую полуплоскость.
Связь этого результата с некоторыми рассмотренными выше понятиями
адаптируемости очевидна.
УПРАВЛЕНИЕ БИФУРКАЦИЕЙ
Рассмотрим задачу нахождения такого закона управления с обратной связью,
что независимо от значений вектора параметров а нелинейная система
х - f (х, и, а), дг(0) = с
204 Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем
нс имеет точек бифуркации; Другими словами, требуется найти закон
управления
и (t) = и (х (/)),
такой, что динамика замкнутого контура
x = f [х, и(х), а)
не имеет точек бифуркации ни при каком значении а.
В общем случае эта проблема не решена, поэтому сосредоточим внимание на
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 .. 79 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed