Большие системы. Связность, сложность и катастрофы - Касти Дж.
Скачать (прямая ссылка):
представления ни о его природе, ни о его содержимом. Вместе с тем эксперт
может производить над ним некоторые действия (входы) и наблюдать их
результаты (выходы). Предположим для определенности, что элементами
множества Q и множества Г являются показания различных измерительных
приборов. Тогда описание эксперимента типа вход - выход могло бы быть,
например, таким:
Время Вход Выход
10.05 Эксперт не производит ника- Ящнк издает звуковой сиг-
ких действий нал частотой 240 Гц
10.06 Эксперт нажал на кнопку "X" Частота тона возросла
до 480 Гц
10.07 Эксперт случайно нажал на кнопку "^0^" Ящнк нагрелся на 20 "С и
начал вибрировать
Этот довольно тривиальный пример показывает, что вхо ды и выходы системы
являются функциями времени, т. е. нельзя один и тот же эксперимент
провести дважды! Единственное, что можно сделать, - это провести
следующий эксперимент, который хотя и незначительно, но будет отличаться
от предыдущего.
Менее тривиальный пример внешнего описания системы дает "бихевиористская"
школа психологов, для которой ха^4 рактерным является проведение
эксперимента и запись его результатов в формате воздействие - реакция. По
мнению представителей этой школы, такое внешнее описание системы дает
максимум информации, которую вообще можно получить о ее структуре и
функционировании. В то же время
Основные понятия и методы системного анализа
21
_рйзнавательная" школа придерживается другой точки зре-jgljJi утверждая,
что единственным удовлетворительным опи-Йрйем системы может быть только
внутренняя модель.
'бсйовываясь на довольно общих результатах теории систем, можно показать,
что это спор ни о чем. Обе школы, в сущности, утверждают одно и то же, и
с точки зрения теории систем эти дебаты столь же содержательны, как и-
дискуссии относительно того, какая сторона монеты наиболее полно отражает
ее стоимость.
Системы с конечным числом состояний
В тех случаях, когда предположение о конечномерности пространства
состояний заменяется предположением о конечности числа его элементов, мы
имеем дело с классом систем, анализ которых возможен с помощью чисто
алгебраических методов. Важность такой замены трудно переоценить,
поскольку совокупность систем с конечным числом состояний включает все
последовательные цифровые вычислительные машины.
Математическое описание системы 2 с конечным числом состояний включает
- множество допустимых входов U,
- множество допустимых выходов У,
- множество состояний Q,
- функцию перехода X: QX U ~*~Q,
- функцию выхода у: QX UУ.
При этом предполагается, что множества U, У и Q конечны. ЭтЬ позволяет
представить описание системы 2 в виде 2 = = ([/, У, Q, W)1).
Как отмечалось, ограничения вычислительного характера с неизбежностью*
вынуждают нас явно или неявно сводить каждую системную задачу к виду,
указанному выше. Поэтому необходимы тщательное изучение и понимание
алгебраической структуры подобных "конечных" описаний, которая
основывается на теории конечных полугрупп. Хотя рассмотрение этой теории
выходит за рамки нашей книги "для первого чтения", тем не менее некоторые
ее простейшие понятия и методы представлены в главе, посвященной
сложности.
!) В литературе такое представление часто называют схематическим. При
этом машина характеризуется внешней функцией вход-выход
/: ПU-+Y, где UU = {(ць и2.............и"): я 1 и и, е U). Здесь
/("1, и2, •••, u")=Y" понимается как выход в момент времени п, если uj -
вход в момент времени /, 1 ^ / <; п.
22
Основные понятия и методы системного анализа
Пример
Пусть система 2 состоит из симметрий вращения правильного треугольника.
Тогда некоторые возможные конечные пространства состояний могут иметь вид
о Qi О2 Oj
Д=[а, Ь,с], О, О,
Ь с с
/\ = [с, а, Ь], 2-тг/З, 1,
а b Ь
/\ = [Ь, с, а], 4тг/3, 2.
с а
Для описания системы 2 достаточно любого из этих пространств состояний,
однако некоторые из них, по-видимому, удобнее использовать для вычислений
результата воздействия % на состояние системы. Следовательно,
пространство состояний вовсе не обязательно должно быть непосредственно
привязано к реальному физическому процессу. Это чисто математическая
условность, введенная для упрощения проблемы определения реакции системы
на заданные внешние воздействия.
Пусть имеются два возможных отображения Х\ и %г, переводящие одно
состояние системы в другое и соответствующие повороту треугольника вокруг
центра тяжести на Г20 и 240° соответственно. Результаты применения этих
отображений к различным пространствам состояний можно представить в виде
таблицы
q Xt(q) A2(q)
[а, b, с] [с, а, i>] [Ь,с,а]
(?!= [с, а, ft] [b,c,a] [а, f>, с]
О, с, а] [а, Ь, с] [с,а,Ь)
0 277/3 4тг/3
2тт13 4ir/3 0
4тг/3 0 2тг/3
0 1 2
1 2 0
2 0 1
Основные понятия и методы системного анализа
23
ИЛИ
Qi~* All Q2~* Q3~*
Qu At(a, 0, 7) = (7, a, 0)
Q2; Mfl) ^ q+2ir/3(mod 2ir)
Q3; Aj(q) = q + l(mod 3).
Q i-
A2:Q2->
Q3-+
Qt; A2(a, 0, 7) = 0, 7, a)
Q2; A2(q) = q + 4ir/3(mod27r)
