Большие системы. Связность, сложность и катастрофы - Касти Дж.
Скачать (прямая ссылка):
x=f[x(t), u(t), t], х(0) = х0, y{t) - h[x{t), u{t), t],
где x(t)-л-мерный вектор, компоненты которого описывают состояние системы
в момент времени t, y(t) - р-мериый вектор наблюдаемых выходов системы,
u(t) - m-мерный вектор входов системы и Хо - начальное состояние системы.
В дискретном времени динамика системы может быть описана с помощью
разностных соотношений
х (k + I) = F [х (k), и (k), k], x(0)=x0,
y(k) = H[x(k), u(k), k].
Наиболее важным свойством такого описания является то, что оно дает нам
представление о поведении системы в
18
Основные понятия и методы системного анализа
некоторой локальной окрестности текущего состояния. При этом неявно
предполагается, что локальная информация мот жет быть каким-то образом
"собрана воедино", что позволит понять глобальное (во времени или
пространстве) поведение системы. Такой подход оказался достаточно
обоснованным для анализа многих физических и технических задач. Однако
возможность его использования в случае менее изученных объектов, в
особенности систем социально-экономической природы, вовсе не очевидна.
Интересно отметить, что математическое описание указанного типа начали
использовать только со времен Ньютона. До этого при описании физических
процессов придерживались точки зрения, высказанной Аристотелем, согласно
которой важность целого превыше важности его составляющих. Другими
словами, значимость элементов, составляющих некоторое множество,
трактовалась через значимость самого множества (как целого). Взгляды
Аристотеля господствовали в физике на протяжении многих столетий, пока
Галилей не высказал иную точку зрения, которая впоследствии была
обоснована Ньютоном: целое объясняется свойствами его элементарных
(локальных) составляющих1).
Простые примеры локального описания можно найти в элементарной физике.
Известно, например, что колебательное движение груза (маятника) единичной
массы, подвешенного на нерастяжимой и невесомой нити единичной длины,
описывается уравнением
х + ах + sin х = и (/), (1.1)
где а - коэффициент трения, u(t) - внешняя сила, действующая на груз, a
x(t) - отклонение груза от положения равновесия. Таким образом, уравнение
(1.1) описывает мгновенное изменение положения и скорости маятника как
функцию его текущего состояния (положения) и скорости, т. е. мы имеем
локальное описание в координатах положение - скорость, что характерно для
всех описаний динамических процессов на языке дифференциальных или
разностных уравнений.
Внешнее описание
Тип математического описания, с которым чаще всего приходится иметь дело
ученому-экспериментатору, - это связь вход - выход. Во многих отношениях
такое описание диаметрально противоположно частному, локальному описа-
') Сложность современной жизни, проявляющаяся в политике, экономике и
социологии, стимулирует возрождение интереса к холистским Теориям,
Основные понятия и методы системного анализа
19
*.вмю, поскольку оно не содержит деталей и единственным доступным
источником информации является закономерность |((r)тображение), связывающая
выходы системы с ее входами. При этом ничего не известно о внутреннем
механизме преобразования входов в выходы. По этой причине связь вход -
Выход часто называют внешним описанием системы в отличие от внутреннего,
или локального, описания (рис. 1.3). с Внутренние и внешние описания
позволяют рассматривать систему как устройство, преобразующее входы в
выходы в соответствии с правилами, определенными внутренним описанием.
Иными словами, система Е является информационным процессором в некотором
обобщенном смысле.
Система L
Рис. 1.3. Внутреннее и внешнее описание системы 2
Очевидно, что внутреннее описание говорит нам гораздо больше о способе
действия системы, поскольку каждое такое описание порождает внешнее
описание. Тем не менее построение модели связано с решением диаметрально
противоположного вопроса: может ли внутренняя модель "объяснить" каждое
внешнее описание? Ответом на этот вопрос по существу является решение так
называемой задачи реализации, которая представляет собой один из важных
аспектов математической теории систем.
Наиболее "сырая" возможная ситуация, при которой возникает необходимость
в описании типа вход - выход, имеет место, когда мы располагаем всего
лишь таблицей элементов (часто чисел), характеризующих реакцию (выход)
системы на различные внешние воздействия (входы). В этом случае внешнее
описание системы эквивалентно отображению
f : Q-> Г,
где через Q обозначено множество возможных входов, а через Г - множество
возможных выходов системы. Как отмечалось,
20
Основные понятия и методы системного анализа
во многих задачах (в частности, психологии, экономики и общественных
наук) множества Г и Q представляют собой конечный набор элементов, связь
между которыми описывается с помощью функции f.
Пример
Представим себе, что из летающего объекта вывалился загадочный ящик.
Предположим, что эксперт, изучающий этот ящик, не имеет ни малейшего
