Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Касти Дж. -> "Большие системы. Связность, сложность и катастрофы" -> 51

Большие системы. Связность, сложность и катастрофы - Касти Дж.

Касти Дж. Большие системы. Связность, сложность и катастрофы — М.: Мир, 1982. — 216 c.
Скачать (прямая ссылка): bolshiesistemisvyaznost1982.pdf
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 79 >> Следующая

(5.3). Будем называть систему (5.3) структурно устойчивой, если
топологический характер траекторий всех близких к ней систем такой же,
как у системы (5.3). Простой пример структурной устойчивости -
гармонический осциллятор с затуханием - был рассмотрен в гл. 2.
Определенные математические трудности связаны с уточнением понятия
"близкая система", а также с конкретизацией смысла, который
подразумевается, когда говорят о том, что траектория эквивалентна или
топологически подобна другой траектории.
К концепции структурной устойчивости близка теория бифуркаций, а также ее
современная популярная разновидность- теория катастроф. При анализе
бифуркаций обычно предполагается, что динамика системы зависит от
нескольких параметров, т. е. f = f(x, t, а), где а - вектор параметров, и
исследуется характер положений равновесия при изменении параметров.
Например, система
г = г (а - г2),
6=1,
где х^-\-х2 = г2, 0 = arctg*2/*I, имеет одно положение равновесия г = 0
при а < 0. Оно соответствует устойчивому фокусу (рис. 5.2). Однако при а
> 0 положение равновесия становится неустойчивым фокусом и возникает
новое положение равновесия г = -\]а. Последнее представляет собой
устойчивый предельный цикл, радиус которого растет как ^а. Точка а = 0
является так называемой точкой бифуркации Хопфа. (Отметим рождение центра
из устойчивого фокуса, когда параметр а проходит через критическое
значение а = 0.)
140 Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем
Теория катастроф рассматривает вопрос об условиях, при которых изменение
параметров системы вызывает перемещение данной точки в фазовом
пространстве из области притяжения к заданному положению равновесия в
область притяжения к другому положению равновесия. Простейшим является
случай, когда все .положения равновесия системы представляют собой
фиксированные точки, которые можно
Рис. 5.2. Точка бифуркации Хопфа,
получить при помощи потенциальной функции. Это так называемая
элементарная теория. Более сложные положения равновесия типа
периодических замкнутых траекторий или аттракторов Лоренца требуют
проведения исследований, выходящих за рамки данной книги. "Катастрофы"
возникают при таких значениях параметра, которые приводят к сдвигу
системы из области одного аттрактора в область другого аттрактора.
Подробнее рассмотрим эти вопросы в одном из следующих разделов, где
уточним также характер связи между теорией катастроф, анализом бифуркаций
и структурной устойчивостью.
СВЯЗНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ И АДАПТИРУЕМОСТЬ
Ниже описывается представляющее интерес комбинированное понятие
устойчивости, сочетающее классические идеи Ляпунова с комбинаторно-
топологическим подходом, - понятие связной устойчивости. При этом
рассматривается вопрос
о том, останется ли состояние равновесия данной системы устойчивым (в
смысле Ляпунова) вне зависимости от двойных связей между состояниями
системы. Другими словами, берем в качестве исходной систему (5.3) и
определяем матрицу взаимосвязи Е = [е,;], такую, что
{ 1, если переменная xt оказывает влияние на переев = | менную xit
l0 в противном случае; i, /=1,2,
Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем
Состояние равновесия х =*= 0 считается связно устойчивым, если оно
устойчиво по Ляпунову для всех возможных матриц взаимосвязи Е.
Понятие связной устойчивости представляет и практический интерес,
поскольку при описании многих процессов наличие или отсутствие данной
связи не всегда будет очевидным вследствие нарушений работы аппаратуры,
неопределенности модели, случайных возмущений и т. п. Подобные ситуации
особенно характерны для моделей в таких областях, как экономика, биология
и энергетика.
Один из аспектов устойчивости, который привлек значительное внимание,
особенно со стороны экологов, связан с понятием адаптируемости. Вообще
говоря, адаптируемость, по-видимому, можно представить себе как
определенную меру способности системы к поглощению внешних возмущений без
резко выраженных последствий для ее поведения в переходном или
установившемся состоянии. Внешне это представление выглядит весьма
сходным с представлением о структурной устойчивости, и они действительно
в значительной мере взаимно перекрываются. Однако, как и полагают, в
действительности принцип адаптируемости несколько шире, поскольку
надлежащим образом выбранная мера адаптируемости должна каким-то образом
комбинировать возмущения собственно динамики системы с возмущениями,
испытываемыми траекторией данного процесса. К сожалению, эта теория
находится пока в стадии формирования, и мы располагаем лишь
предварительными определениями и результатами.
ГРАФЫ
И ПРОЦЕССЫ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
Как было показано, многие интересные системы можно успешно моделировать
при помощи графов или, в более общем случае, путем использования
симплициальных комплексов. Такое представление сложного процесса
оказывается особенно удобным в тех случаях, когда мы не располагаем
точными числовыми соотношениями между компонентами системы, необходимыми
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 79 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed