Большие системы. Связность, сложность и катастрофы - Касти Дж.
Скачать (прямая ссылка):
системы представлены величинами Ge\ и Не2.
Исследование уравнений (5.1) и (5.2) в случае заданных "1, и2 и
некоторого множества U s X дает нам ответы на два основных вопроса:
Имеет ли система (5.1), (5.2) единственное решение в Я для в\ и е2 из X?
??i - ti\ •*- Ме2) e2~u2 + Geu
(5.1)
(5.2)
Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем 137
Если система (5.1), (5.2) имеет какие-либо решения в X для е\ и в2 из Я,
то будут ли они действительно принадлежать пространству ?/?
Первый вопрос по существу относится к проблеме существования и
единственности, а второй - устойчивости. Вообще говоря, для изучения этих
вопросов применяются различные аналитические методы, но в основном методы
функционального анализа.
В качестве примера проблемы устойчивости рассмотрим случай, когда X = U
=¦ Ьж[0, оо], т. е. случай существенно ограниченных функций на
полупрямой. Это так называемая проблема устойчивости системы типа "черный
ящик" с ограниченным входом и ограниченным выходом, представляющая
очевидный интерес для практики. В дальнейшем выразим результаты
исследования этой проблемы в виде зависимости от свойств операторов G и Я
(последние могут быть нелинейными).
ВНУТРЕННЕЕ ОПИСАНИЕ
Самым общим средством математического описания динамического процесса
является дифференциальное уравнение вида
•* = /(*, t), х (0) = с, (5.3)
так называемое внутреннее описание. На таком описании основаны все
классические результаты Ляпунова, Пуанкаре и других исследователей,
причем динамика системы f(-, •) задавалась в разных формах.
Исторически первое систематическое исследование свойств устойчивости
уравнения (5.3) принадлежит Ляпунову, который рассмотрел следующую
задачу: если начало координат является точкой равновесия системы (5.3),
т. е. /(0, t) = 0 для всех t, и если система выведена "малым" возмущением
из равновесия (с Ф 0), останутся ли траектории процесса "близкими" к
началу координат для всех последующих моментов времени. В геометрической
форме эта ситуация показана на рис. 5.1. Основная идея состоит в том, что
если решение начинается в пределах небольших расстояний от начала
координат, оно должно оставаться внутри несколько более широкого
"канала", показанного на рис. 5.1 пунктиром.
Несколько более сильное определение устойчивости отвечало бы требованию
0 при t-*-oo, т. е. чтобы система
в конечном счете возвращалась к точке равновесия. Такое определение
отвечает понятию асимптотическая устойчивость
138 Устойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем
(согласно Ляпунову). Важно отметить, что понятия устойчивости по Ляпунову
и асимптотической устойчивости являются независимыми. Легко построить
примеры, для которых один из видов устойчивости имеет место, а другой
нет, и наоборот. Так, система . r = [g(0, t)/g(Q, t)\r, 0 = 0, где g(0,
t) = sin2 0/[sin4 0 + (1 - / sin2 0)2] + 1/(1 +12)> асимптотически
устойчива, но ее решения становятся неограниченными, когда начальное
состояние 0о = 0(О)-*• ±л (возникает вопрос: в чем причина такого
явления?).
x(t)
Заметим, кстати, что приведенные выше стандартные определения
устойчивости подразумевают, что заранее известная точка равновесия вместе
с ее ближайшей окрестностью представляет собой особенность типа центр.
Как будет показано, требованию устойчивости соответствуют условия,
налагаемые на свойства функции f в этой ближайшей окрестности, которые
дают центр. Таким образом, с точки зрения практики, прежде чем применять
какие-либо классические результаты, необходимо рассчитать все точки
равновесия для f. Такой предварительный расчет может представить
самостоятельную проблему в зависимости от структуры функции f. Здесь
неявно предполагается, что положения равновесия f достигаются только в
фиксированных точках. В общем случае они могут отвечать гораздо более
сложным объектам - предельным циклам, странным аттракторам и т. п.
С каждой устойчивой точкой равновесия связана окружающая ее открытая
область, называемая областью притяжения: устойчивая точка равновесия
действует как некоторый "магнит", втягивающий любое начальное состояние
внутри своей области притяжения (см. рис. 2.14).
Существенная часть современной теории устойчивости опирается на сведения
о том, кдким образом изменения гра-
Устойчивость, Катастрофы и адаптируемость больших систем 139
ниц областей устойчивости и точек притяжения связаны с изменениями
различных динамических параметров системы. Кроме того, в практическом
отношении весьма важно иметь возможность математического описания границ
данного равновесного состояния. Некоторые сведения по этим вопросам будут
приведены ниже.
СТРУКТУРНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
Главная особенность классических понятий устойчивости состоит в том, что
они относятся к конкретной системе и поведению ее траекторий в
окрестности точки равновесия (притяжения или отталкивания). Совершенно
другого подхода требует анализ поведения семейства траекторий,
возникающих при рассмотрении всех систем, "близких" к стандартной системе
