Большие системы. Связность, сложность и катастрофы - Касти Дж.
Скачать (прямая ссылка):
математическое описание изучаемой системы.
Пример. Двоичный выбор
При анализе многих системных задач, представляющих практический интерес,
разумно предполагать, что система стремится минимизировать некоторую
(быть может, неизвестную) потенциальную функцию. Это означает, что в
отсутствие внешних возмущений система стремится к состоянию равновесия,
которому соответствует минимум энергии некоторого силового поля, причем
природа этого поля может быть различной.
Для иллюстрации этого положения рассмотрим случай, когда возможны два
варианта выбора в зависимости от значений некоторой функции полезности
U(x, а, Ь), где х - переменная, описывающая выбор; а и b - параметры, от
которых этот выбор зависит. Тогда можно определить функцию бесполезности
как Е(х, a, b) = -U и построить модель, в которой эта функция
минимизируется.
Допустим, что между двумя пунктами возможны маршруты Л и В, стоимость
которых С а и С в соответственно. Внешние параметры а и b являются
функциями разности стоимостей С = Св - Са. Предположим, что х < 0
соответствует маршруту А, а х > 0-маршруту В. Тогда можно построить
функции а(С) и Ь(С), такие, что найдется такое число X, что:
Если С > 0 и велико по модулю, то возможен выбор только маршрута А и,
следовательно, х < 0;
Если С < 0 и велико по модулю, то возможен выбор только маршрута В и,
следовательно, х > 0;
Если 0 < С < X, то наиболее вероятным является выбор маршрута А, хотя
возможен выбор и маршрута В;
Если -X < С < 0, то наиболее вероятным является выбор маршрута В, хотя
возможен выбор и маршрута Л;
Если С = 0, то вероятности выбора каждого маршрута одинаковы.
Для построения модели процесса выбора нам потребовалась всего лишь
функция бесполезности. Другими словами, мы не испытывали необходимости в
более подробном описании внутренней динамики процесса (которого для
большинства социально-экономических систем просто нет). Более
16
Основные понятия и методы системного анализа
того, нам не нужно даже знать точного вида функции Е(х, а, Ь).
Единственно, что требуется, - это наша готовность признать сам факт
существования такой функции, а все остальное следует из абстрактных
математических рас-суждений и имеющихся численных данных (включая и
точный вид кривой, представленной на рис. 1.2, поскольку это
х
необходимо для количественного моделирования данной системы). Как будет
показано, для моделирования подобных ситуаций используется теория
катастроф Тома.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ
Рассмотренные примеры свидетельствуют о том, что абстрактная
характеристика данной ситуации может быть получена с помощью разных типов
математического описания. Однако при этом естественно возникает вопрос: а
для чего вообще нужно какое-либо математическое описание? Ответ на этот
вопрос в значительной степени связан с нетривиаль-ностью современных
научных результатов и необходимостью уметь выделять существенные свойства
описательных моделей. Кроме того, использование именно математического
описания обусловлено следующими важными соображениями.
Компактность. Словесное (или вербальное) описание системы (или процесса),
как правило, представляет собой нагромождение нечетких высказываний,
которые лишь затуманивают существо дела. Избавиться от таких нечетких и
не до конца продуманных соображений пом(?гает компактная
Основные понятия и методы системного анализа
17
иатематическая символика. Математическое описание дает нем аналог
знакомой картины и оказывается информативнее яюбого словесного описания.
Ясность. Использование математического описания позволяет каждому аспекту
изучаемого процесса поставить в соответствие определенный математический
символ, в результате чего становится более наглядной взаимосвязь,
существующая между различными параметрами процесса. Более того, подобное
сопоставление позволяет гораздо проще, чем словесное описание,
установить, не были ли упущены какие-либо существенные переменные, или,
напротив, не были ли внесены какие-либо дополнительные несуществующие
сложности при построении описания.
Возможность численного анализа. Как только сделан выбор некоторого
математического описания, последнее "начинает жить" собственной жизнью,
более или менее независимой от самого исследуемого процесса. Другими
словами, математическим описанием можно манипулировать в соответствии с
обычными законами логики в надежде получить нетривиальное представление о
самой системе. Кроме того, математическая модель дает основу для
численного анализа, е помощью которого могут быть получены данные не
только описательного, но и прогностического характера.
Рассмотрим кратко некоторые типы математического описания, которые мы
будем использовать в этой книге.
Внутреннее описание
Со времен Ньютона динамические процессы описывали на языке
дифференциальных (или разностных) уравнений, т. е. в терминах некоторых
естественно выбранных переменных, таких как положение, температура,
скорость и т. д. В общем виде такое описание может быть представлено как
