Большие системы. Связность, сложность и катастрофы - Касти Дж.
Скачать (прямая ссылка):
делает ее значительно более сложной, чем система Si.
НЕЛИНЕЙНЫЕ КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Определение сложности для системы, задаваемой нелинейным дифференциальным
уравнением
x = f(x, и),
представляет собой значительно более трудную проблему. Это объясняется
тем, что для такой системы нет сжатого алгебраического представления типа
W(z), характеризующего структуру системы с позиций оператора входа - вы-
Сложность структуры больших систем
129
хода. В этом случае можно предложить следующие два подхода.
Во-первых, можно аппроксимировать конечномерное пространство состояний
процесса некоторым дискретным пространством состояний подобно тому, как
это делается в численных методах. Например, пространство состояний Rn
может быть дискретизировано ограничением координатных направлений при
помощи неравенств
г = 1,2, ..., п
и затем введением структуры решетки в этот конечный гиперблок. После
этого можно определить динамику системы с конечным числом состояний,
индуцируя ее из исходной непрерывной системы. Имея теперь апроксимацию
исходной системы, можно применить к ней результаты, касающиеся процессов
с конечным числом состояний. Заметим, однако, что установление
обоснованности перехода к дискретной задаче является нетривиальной
задачей. В любом случае необходимо установить инвариантность структуры
относительно подразбиения и показать, что решение дискретной задачи
сходится (в некотором смысле) к истинному решению, когда решетка
становится все тоньше и тоньше.
Второй подход - это использование результатов гл. 3. Если функция f(x, и)
аналитична по л- и непрерывна по и, то теорема Кренера является аналогом
теоремы Крона - Роудза. К сожалению, теория сложности для таких систем
пока еще не создана, хотя, казалось бы, нет особых препятствий к
распространению результатов о конечных автоматах на конечномерные
аналитические системы.
СЛОЖНОСТЬ И ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ
Как уже отмечалось, между классической теорией информации по Шеннону -
Винеру и понятием Сложность системы существует тесная связь.
Действительно, В некоторых ранних работах по исследованию сложности
биологических систем сложность определялась как число различимых единиц,
составляющих организм. Такой подход явно наводит на мысль
о сравнении меры сложности С информационным содержанием строки
символов. Однако теория информации не является удовлетворительной основой
для определения сложности. Было показано, что система является целостным
объектом, а не просто объединением своих частей. Кроме того, системные
переменные не действуют по отдельности и только в совокупности с другими
порождают сложные явления. Отдельные переменные могут быть не так важны,
как их
Зак. 1231
130
Сложность Структуры больших систем
комбинации, соответствующие этим явлениям, а теория информации не может
идентифицировать такие комбинации. Подобно всем статическим теориям, она
игнорирует тот факт, что относительное расположение элемента в структуре
может оказывать сильное влияние на систему. Другими словами, численных
значений частот различных элементов в системе не достаточно для
объяснения ее поведения, требуется еще информация о способе, которым эти
элементы связаны.
Одним из интересных подходов, удовлетворяющих этому требованию, является
понятие аналогичные явления. При этом подходе постулируется, что исходные
размеры переменные Xi, Х2, ..., хп можно заменить безразмерными
переменными Pi, Р2, . •., Pk, которые представляют собой комбинации Xi.
Количество таких безразмерных переменных определяется согласно теореме,
утверждающей, что размерное однородное уравнение
F Х2) • •. j хп):=== 0
может быть выражено с помощью переменных Р, образуемых из xi так, что
f (Рь Р2, • • •, Рп-г) = 0, г < т,
где г - ранг размерной матрицы исходных переменных п, а т--число основных
размерностей физических величин, таких, как масса, длина.
Так как фактически все физические законы размерностно инвариантны, то
безразмерные комбинации Р, могут интерпретироваться как критерии подобия.
Таким образом, появляется возможность значительно сократить число
системных переменных, принимаемых во внимание. В то же самое время,
обычно присущая теоретико-информационным проблемам нестационарность может
быть значительно редуцирована, поскольку любые изменения, ведущие к
нестационар-ности, вероятно, будут значительно меньше на макроскопическом
уровне (P-переменные), чем на микроскопическом (х-переменные).
Необходимо поэтому концентрировать внимание на фундаментальных законах,
управляющих поведением системы, а не на конкретных моделях,
представляющих процесс. Другими словами, следует стремиться описать
сложность в терминах инвариантных свойств структуры системы. Для того
чтобы иметь возможность распознавать различные множества конфигураций
системы, введем размерностно инвариантную дискриминантную функцию
Сложность структуры больших систем
131
где весовые множители (коэффициенты) определяются так, чтобы
максимизировать /-статистику или /''-отношение между различными группами
