Большие системы. Связность, сложность и катастрофы - Касти Дж.
Скачать (прямая ссылка):
симплексы, определим меру сложности с помощью размерности симплексов и
учета связей между ними. Отметим, что такое определение сложности
включает только статическую структурную сложность рассматриваемой
системы. Динамические же соображения, вероятно, лучше всего отображать с
помощью теории конечных автоматов.
126
Сложность структуры больших систем
Для определения полиэдральной сложности будем использовать следующую
версию аксиом сложности:
A, Система, состоящая из единственного симплекса, имеет сложность
равную 1.
Б. Подсистема (подкомплекс) имеет сложность, не большую, чем весь
комплекс.
B. Объединение двух комплексов образует новый комплекс, сложность
которого не больше, чем сумма сложностей компонент.
Заметим, что аксиомы А - В неявно предполагают, что рассматриваемая
система связана на нулевом уровне, т. е. структурный вектор Q системы
имеет Qo = 1. Если это не так, то можно вычислить сложность каждой из
компонент связности комплекса, а затем максимальное из этих чисел принять
за сложность всей системы. Такая процедура эквивалентна рассмотрению всей
системы как параллельно соединенных ее компонент связности (на 0-уровне).
В качестве меры, удовлетворяющей принятым аксиомам, возьмем следующую
функцию, легко вычисляемую из структурного вектора Q:
ф (К) = 2 [ |о (i + 1) Q^/(N + 1) (N + 2),
где N - размерность комплекса К, a Q; - i-я компонента структурного
вектора Q, получаемого в процессе д-анализа. Множитель 2/(N + 1) (N + 2)
введен главным образом для нормализации в соответствии с аксиомой А.
Для иллюстрации использования меры гр, рассмотрим пример системы хищник -
жертва (гл. 3). Отношение Хищник имеет структурный вектор
- (5
<2хищ.шк- ^ J 2 3 2 J у
а отношение А,Жертва -
_/б 04
(Зжертва AJ 3 3 4 2 1 У
Таким образом,
1}) (хищник) = 11/7, ij) (жертва) = 50/21,
что указывает, что отношения жертв устроены несколько более "сложно", чем
отношения хищников.
Сложность структуры больших систем
127
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СЛОЖНОСТЬ
Определение сложности, данное для конечных автоматов, вообще говоря,
может быть распространено на случай конечномерных линейных систем
посредством несколько искусственной алгебраической конструкции полугруппы
линейной системы. Основным недостатком такого представления является то
обстоятельство, что полугрупповая "реализация" линейной системы лишь
случайно может оказаться минимальной (т. е. канонической). Да это и
неудивительно, так как теория Крона - Роудза дает теоремы существования
для последовательно-параллельных реализаций, которые, как правило, не
минимальны. Математически наиболее элегантный путь - это использовать
теорию модулей, которая, как было отмечено выше, всегда приводит к
минимальной реализации. Однако для этого потребуется привлечение
значительного алгебраического аппарата теории модулей. Подойдем к вопросу
о сложности конечномерных линейных систем с позиций полиномиальной и
линейной алгебры.
Для общего обоснования вида функции сложности обратимся к рис. 3.7,
изображающему общую структуру линейной системы, и теореме реализации (гл.
3). Было показано, что любая линейная динамическая система 2 может быть
представлена как прямая сумма подсистем 2,-; 2, определяется i-м
нетривиальным фактором матрицы
(2),
где W(г) - передаточная функция системы 2, a i|jw - ее характеристический
многочлен. Компоненты 2,- представляют неприводимые составные блоки
системы 2, поэтому определив меру сложности для каждого из них, получим
меру сложности системы 2.
Так как инвариантные факторы я|з ",№(?) однозначно описывают структуру
системы 2, возьмем в качестве меры ее сложности
Е (2) = Z (я - deg я|зг + 1) log (п - deg я|зг + 1), г-i
где п = dim 2, а я|зг - i-й нетривиальный инвариантный фактор -ф wW'(г).
Достаточно просто проверить, что мера | удовлетворяет вышеприведенным
аксиомам. При этом системой, сложность которой равна 0, является
циклическая система. Вполне закономерно, что мера ? очень похожа на меру
информации, содержащейся в строке символов, так как
123
Сложность структуры больших систем
аксиомы сложности тесно связаны с "естественными" аксиомами для меры
энтропии.
Заметим, что, хотя мера ? основана на степенях г|),, размерность
пространства состояний также играет в ней существенную роль. Например,
для двух систем с подобной циклической структурой система большей
размерности будет и более сложной, что отвечает нашему интуитивному
пониманию меры |.
Рассмотрим две системы, описываемые передаточными матрицами
W2(z) =
1 1
Z+22
О
I 1
---*~~2
Z Z
О
Легко показать, что матрица \|)W№i(2) имеет единственный инвариантный
фактор
Следовательно,
\|)| = (z-j- 1) (z + 2) (г + 3).
?(20 = 0.
Матрица ^к^2(г) имеет два инвариантных фактора =
¦ф\ = гг. Таким образом, сложность е2 системы S2 равна
2
S (2г) = ? (я - deg я|з,- + 1) log (п - deg я|з,- + 1)
1 = 1
= (3 - 1 + 1) log (3 - 1 + 1) + (3 - 2 + 1) log (3 - 2 + 1)
- 3 log3 + 2 log 2.
Как и следовало ожидать, нетривиальная циклическая структура системы Е2
