Большие системы. Связность, сложность и катастрофы - Касти Дж.
Скачать (прямая ссылка):
эта теорема дает необходимые и достаточные условия для декомпозиции любой
конечномерной аналитической системы.
В качестве примера, поясняющего эти результаты, рассмотрим билинейную
систему 2, определяемую матричными уравнениями:
з
X = ? UiBiX, X (0) = I,
"VI
где
Пространство состояний такой системы -это группа дейст--вительных 2X2
матриц с определителем, равным 1, М -
- SL(2, R), а входы задаются элементами Q== R3. Проведя
алгебраические выкладки, можно найти, что система 2 обладает
нетривиальной параллельно-каскадной декомпозицией
X^UiBi,
Х2^{Х,)~\и2В2 + и3В3)ХхХ2,
где
X = ХхХ2.
Этот пример показывает также, что пространство состояний нелинейной
системы, как правило, не Rn,
106
Связность структуры больших систем
ЛИТЕРАТУРА
Интересное использование виедиатональных элементов матрицы взаимосвязей
для получения декомпозиции системы обсуждается в статье Steward D. V.,
Partitioning and Tearing System of Equations, SMAf /. Num. Anal., 2, 345-
365 (1965) .
Автор предлагает версию метода "разрыва", примененного Кроном, для
изучения электрических цепей. Резюме этой работы можно также найти в
книге
Нарр Н., The Theory of Network Diakoptics, Academic, New York, 1970.
Подход Крона, рассматриваемый с топологической точки зрения, излагается в
статье
Roth J. P., An Application of Algebraic Topology: Kron's Method of
Tearing, Quart. Appl. Math., 17, 1-14 (1959).
Комплекс и связи. Эксцентриситет
Весь материал по 9-связности и эксцентриситету взят из основополагающей
работы Эткина. Более подробно эти вопросы рассматриваются в работах
Atkin R. Н., Mathematical Structure in Human Affairs, Heinemann, London,
1974; Combinatorial Connectivities in Social Systems, Birkhauser, Basel,
1976; Multidimensional Man, Penguin, London; Atkin R. H., Casti J.,
Polyhedral Dynamics and the Geometry of Systems, RR-77-6, International
Institute for Applied Systems Analysis, Laxenburg, Austria, March 1977.
Дыры и препятствия. Числа Бетти и кручение, р-дыры.
Коцепи и кограницы
Материал по теории гомологий взят из приложения к книге Atkin R.,
Mathematical Structure in Human Affairs, Heinemann, London, 1973.
Элементарные концепции алгебраической топологии излагаются в книгах
Александров П. С. Комбинаторная топология. - М. - Л.: 1947;
Giblin P., Graphs, Surfaces and Homology, Chapman and Hall, London, 1977;
Franz W., Algebraic Topology, Ungar, New York, 1968.
Более подробно и на современном уровне, материал представлен в книгах
Hilton P., Wylie S., Homology Theory, Cambridge University Press,
Cambridge, 1960. [Имеется перевод: Хилтон П. Дж., Уайли С. Теория
гомологий.- М.: Мир, 1971.]
Spanier Е., Algebraic Topology, McGraw-Hill, New York, 1966. [Имеется
перевод: Спеньер Е. Алгебраическая топология. - М.: Мир, 1971.J
Отношение хищник - жертва: пример гомологии
Этот пример взят из статьи Casti J., Connectivity, Complexity and
Resilience in Complex Ecosystems, in IFAC Symposium on Bio- and
Ecosystems, Leipzig, Germany, 1977.
Приложение теории ^-связности к шахматам и комедии Шекспира
Пример приложения теории ^-связности к комедии Шекспира взят н? книги
Atkin R., Multidimensional Man, Penguin, London,
Связность структуры больших систем
107
Алгебраическая связность
Общая применимость "принципа конечности" к математической теории систем
проиллюстрирована в работах
Eilenberg S., Automata, Languages and Machines, Vols. A and B, Academic,
New York, 1974, 1976;
Kalman R., Falb P., Arbib М., Topics in Mathematical System Theory,
McGraw-Hill, New York, 1969. [Имеется перевод: Калман P., Фалб П., Арбиб
М. Очерки по математической теории систем. - М.: Мир, 1971.]
Линейные системы
Результаты по реализации лииейиых систем взяты из приведенной выше книги
Калмана и др (гл. 10). См. также работу Kalman R., Irreducible
Realizations and the Degree of a Rational Matrix, SIAM J. Appl. Math.,
13, 520-544 (1965).
Полугруппы и узловые произведения. Теорема Крона - Роудза
Основные понятия и теоремы теории автоматов изложены в книгах Ginsburg
S., Algebraic Theory of Automata, Academic, New York, 1968; Arbib М.,
Machines, Languages and Semigroups, Academic, New York, 1967;
Kalman R., Falb P., Arbib М., Topics in Mathematical System Theory,
McGraw-Hill, New York, 1969. [Имеется перевод: Калмаи P., Фалб П., Арбиб
М. Очерки по математической теории систем. - М.: Мир, 1971.]
Доказательство теоремы декомпозиции приведено в статье Kfoftn К., Rhodes
J., Algebraic Theory of Machines, Trans. Am. Math. Soc., Мб, 450-464
(1965).
Более полное современное изложение с большим числом примеров из биологии,
психологии и физики дано в книге
Rhodes J., Applications of Automata Theory and Algebra via the
Mathematical Theory of Complexity, Lecture Notes, Math. Dept., University
of California, Berkeley, 1971.
Декомпозиция аналитических систем
Krener A., A Decomposition Theory for Differentiable Systems, SIAM J.
Control Optim., 15, 813-829 (1977).
4
Сложность структуры больших систем
