Большие системы. Связность, сложность и катастрофы - Касти Дж.
Скачать (прямая ссылка):
103
геров. Таким образом, независимо от сложности поведения системы, можно
анализировать систему, изучая лишь сравнительно простые объекты, которые
соединяются с помощью конструкции узлового произведения. Для того чтобы
дать точную формулировку теоремы Крона - Роудза, необходимо ввести
понятие делимости для полугрупп.
Определение 3.4
Будем говорить, что полугруппа преобразований (X, S) делит (У, Т):(Х, S)
| (У, Т) тогда и только тогда, когда:
- существуют подмножество У' множества У и подполугруппа Т'
полугруппы Т, такие, что Y' инвариантно относительно действия Т'.
- существуют отображение 0: Y' ->-> X (-у-> обозначает отображение
"на") и эпиморфизм ф\ T'-*-S, такие, что Q(yt) = 0 (*/)<?(/) для всех у е
Y' и /е Г'.
Реализация данной системы (автомата) при помощи подсистем (автоматов)
осуществляется в соответствии с делением полугрупп. Теперь можем
сформулировать основную задачу, имеющую непосредственное отношение к
теореме Крона - Роудза.
Задача
Если X - пространство состояний, на котором действует конечная полугруппа
преобразований SF*, то можно ли найти декомпозицию (X, &~*) в
подполугруппы преобразований (Xk, G'k), k - \, ..., п, такие, что будет
получено минимальное решение (X, SF*) |(^n, G*n) w .. . w(Xi, Gf), и если
можно, то каковы структура компонент (Х{, G}) и максимальное значение п?
На языке теории автоматов соответствующая задача является факторизацией
конечного автомата в наибольшее возможное число автоматов, и ее решение
дается так называемой простой декомпозицией первоначального автомата.
Прежде чем перейти к формулировке теоремы Крона - Роудза, введем такие
понятия, как полугруппа триггера и примарная группа.
Определение 3.5
Пусть афЬ. Рассмотрим полугруппу ({а, Ь}, {Са, Сь, Id}), где хСа = а, хСь
= Ь, xld = х для х = а или х = Ъ, которую будем записывать также в виде
({a, b}, U3). Полугруппа ({a, b}, U3) называется полугруппой триггера
порядка три.
104
Связность структуры больших систем
Определение 3.6
Конечная группа G примарна, если она простая1), G ф = {Id}. Если 5 -
полугруппа, тогда Primes (5) = {G : G примарна и GJS}.
Теорема примарной декомпозиции для конечных полугрупп, или теорема Крона
- Роудза
Пусть (X, &~*) заданная конечная полугруппа. Тогда существует
декомпозиция её в узловое произведение (Xi, G1), ... ..., (Хп, Gn),
такая, что
(X, ЗГУ | (*", G'n)w ... w (Л-,, G*),
и для каждого фактора (Xj, GJ) либо G] е Primes {&"*), (Xj, G]) -
транзитивная группа перестановок, либо
(X,, G]) = ({a, Ь), U3).
Сравнивая эту теорему с теоремой Жордана - Гёльдера, можно заметить, что
теория полугрупп эквивалентна теории конечных групп, дополненной
"триггерной" операцией.
ДЕКОМПОЗИЦИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Если пространство состояний системы бесконечно, но конечномерно, то можно
доказать справедливость теоремы, почти аналогичной теореме Крона -
Роудза. Однако в этом случае потребуется более сложный математический
аппарат.
Пусть система определена внутренним описанием, задаваемым
дифференциальным уравнением
х = f (х, и)>
где пространство состояний М является аналитическим многообразием, a
f - действительная аналитиче-
ская функция переменной х, непрерывная по и и удовлетворяющая условию
Липшица по х равномерно относительно и. Обозначим через К(М) алгебру Ли
всех аналитических векторных полей на М. На алгебре К(М) задана скобочная
операция Ли [•, •], позволяющая из двух заданных векторных полей v, w
получить новое векторное поле с помощью формулы [v, w] = (dv/dx) (w) -
(dw/dx)(v). Для каждого ией рассмотрим векторное поле /(•, и) и определим
алгебру Ли системы 2 как наименьшую подалгебру алгебры К(М), содержащую
все такие векторные поля. Сформулируем теперь конечномерный аналог
теоремы Крона - Роудза.
4) Напомним, что группа проста, если у нее нет нетривиальных
нормальных подгрупп. N - нормальная подгруппа G тогда и только тогда,
когда Ng = gN для всех g е G.
Связность структуры больших систем
105
Теорема Кренера
Если алгебра Ли системы 2 конечномерна, то система 2 допускает
декомпозицию в параллельные каскады систем с простой алгеброй Ли с
последующим каскадом одномерных систем.
Сделаем несколько замечаний относительно этой теоремы.
1. Алгебра Ли является простой, если она не абелева и не имеет
нетривиальных идеалов. Таким образом, простые алгебры Ли в теореме
Кренера являются аналогами простых групп из теоремы Крона - Роудза.
Однако такой аналогии не существует между одномерными системами и
полугруппами триггеров, так как триггеры входят в негрупповую часть
автоматов. Заметим, что с точностью до изоморфизма существуют только две
одномерные системы - на' окружности и на прямой линии. Таким образом
"простых" элементов, получаемых при декомпозиции алгебры Ли, также два.
2. В определенном смысле эта теорема дает наилучшую декомпозицию
конечномерных систем. Действительно, конечномерная система неразложима
тогда и только тогда, когда алгебра Ли одномерна или проста. Заметим, что
