Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Касти Дж. -> "Большие системы. Связность, сложность и катастрофы" -> 36

Большие системы. Связность, сложность и катастрофы - Касти Дж.

Касти Дж. Большие системы. Связность, сложность и катастрофы — М.: Мир, 1982. — 216 c.
Скачать (прямая ссылка): bolshiesistemisvyaznost1982.pdf
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 79 >> Следующая

линейных динамических процессов. Это и не удивительно, так как
пространство состояний нелинейной системы может и не быть векторным
пространством. Для того чтобы рассмотреть достаточно широкий класс
нелинейных задач, обратимся к метапринципу конечности. В этом случае
разумно потребовать конечность пространства состояний. При этом аналогами
конечномерных линейных операторов (матриц) F, G и Н будут конечные
полугруппы преобразований, возникающие из описания динамических систем с
помощью автоматов. Это позволит нам сформулировать теорему декомпозиции
(теорему Крона - Роудза), играющую в данном случае ту же роль, что и
теорема об инвариантах в линейном случае.
ПОЛУГРУППЫ И УЗЛОВЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Предположим, что пространство состояний изучаемого процесса, обозначаемое
Q, содержит лишь конечное число элементов. Предположим также, что У - это
множество преобразований пространства состояний, т. е.
Q -> Q.
Связность структуры больших систем
101
flycTb произведение двух элементов fi и /2 из У определяется #ак
(Ш: Q^Q,
(/1/2) q = f2 [/1 (?)]•
0то определение соответствует обычной композиции двух •преобразований,
которая, как известно, ассоциативна, т. е.
[/i (Ш1<7 = [(/1/2) Ш Для всех /" f2, f3^^, ?eQ,
Можно образовать полугруппу *) У* из групп ?Г, включив в йоследнюю все
произведения ее элементов.
Пара объектов (Q, &"*) образует так называемую полугруппу преобразований.
Поскольку рассматривается конечное пространство Q, то и полугруппа
преобразований также конечна2).
Наша цель - получить связь между произвольными преобразованиями конечного
пространства состояний и определенными удобными представлениями действий
этих преобразований. Для достижения этой цели введем понятие узловое
произведение координат3). Предположим, что Q представлено при помощи
декартова произведения
Q = XlXX2X...XXn,
т. е. каждое <7 е Q имеет представление q = (x\, х2, ..., хп), Xi^Xi, i=
1, 2, ..., п. Тогда действие ЗГ* на Q триангулировано, если каждое может
быть представлено как
/ = (/1, /2, .... fn)^FiXF2X .... XFn, где f(q) = f(xi, Хг, ..., *") =
[/i(xi), f2(xux2), ..., fn(xi,x2, ..., *")] = q',
$.e.flt:XlXX2X...XXk-+Xk.
Таким образом, триангуляция означает, что каждая координата q' зависит
только от координаты q с тем же номером и координат, ей предшествующих.
_4 Еще одним важным понятием является понятие k-го координатного
действия. А именно, k-e координатное действие (Q,&-*) = (XlXX2X ... ХХП;
FiXFtX ... XFn)-это полугруппа преобразований (Xk, Gl), где G* -
множество рсех преобразований g на Xk, таких, что
g: Xk -> Xk, g (z) = fk (a,, "2, ..., ak_x, z),
a (oi, a2, Qk-2, a*-i) - произвольный фиксированный эле-
мент Я1ХЯ2Х ••• XXk-i и fk^Ft- Другими словами, эле-
*) Полугруппой называют множество с заданной на нем ассоциативной
бинарной операцией.
*) Порядок (Q, У*) равен числу различных преобразований в У*.
э) В алгебраической теории полугрупп общепринятым является термин
сплетение. - Прим. перев,
102
Связность структуры больших систем
менты GI не только отображают Xk в себя, но и также должны быть частью
триангуляции 9".
Если действие @~* на Q может быть триангулировано введением координат Q =
X ^2X ••• X Хп, то пространство состояний Q есть узловое произведение
своих координатных действий, т. е.
(Q, <Г*) = (Xtf) w (Х2, G:)w...w (Хп, G\).
Следовательно, множество XiX^X ••• X Хп представляет узловое произведение
координат для Q, а множество G\ X X G2 X • • • X Gn - узловое
произведение координат для $Г*.
Пример
Пусть Q = R2, Xi = Х2 = Rl, a f: R2-+R2 задается верхнетреугольной
матрицей
В качестве компонентного преобразования /,¦ возьмем композицию оператора,
определяемого ведущим i'Xt блоком f, и оператора проектирования на i-ю
координату.
ТЕОРЕМА ДЕКОМПОЗИЦИИ КРОНА - РОУДЗА
В теории конечных групп существует структурная теорема- так называемая
теорема Жордана - Гёльдера, согласно которой любая конечная группа может
быть построена из фиксированного множества простых групп (факторов
Жордана - Гёльдера) и это множество групп определено однозначно (с
точностью до изоморфизма). В теории конечных полугрупп аналогом такой
теоремы является теорема Крона - Роудза: любое конечное про-
странство состояний может быть представлено так, что множество явлений,
наблюдаемых на нем, триангулировано. Кроме того, координатные действия
должны быть либо (а) простыми группами перестановок, тесно связанными с
(Q, 3~*), либо (6) одной из трех возможных полугрупп преобразований,
наибольшая из которых имеет порядок три.
Следствием этой теоремы является тот факт, что любая система с конечным
пространством состояний может быть удобно координизирована так, что
координатные действия распадаются на отдельные простые виды: группы
перестановок, отмеченные в (а), должны быть таковы, что они делят
первоначальную полугруппу (Q, ЗГ*), в то время как полугруппы (6) должны
быть полугруппами элементарных триг-
Связность структуры больших систем
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 79 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed