Большие системы. Связность, сложность и катастрофы - Касти Дж.
Скачать (прямая ссылка):
и т. д. Отметим, что /г-симплекс состоит из ti + 1 вершин и его размер на
единицу меньше числа вершин.
Вообще говоря, р-симплекс ар представляется выпуклым многогранником с
вершинами в эвклидовом пространстве Ер, а комплекс Ky(X; К) -
совокупностью таких многогранников в эвклидовом пространстве Еа
соответствующей размерности. Хотя размерность ос наверняка не превышает
суммы размерностей всех симплексов из Ky(X; X), однако поскольку многие
симплексы имеют общие грани, то размерность а на самом деле окажется
меньше. В действительности можно показать, что если dim Ky {X; X) = п, то
а = 2м+1. Так, если dim Ky(X; К)= 1, то наибольший порядок ар есть р = 1,
поэтому можно ожидать, что трехмерного пространства Е3 будет достаточно,
чтобы геометрически представить произвольный комплекс размерности 1. Это
можно проиллюстрировать следующим образом: на плоскости (Е2) надо
соединить непересекающимися линиями три дома Нь Н2 и Н3 с источником
газа, воды и электроэнергии. Неразрешимость поставленной задачи
иллюстрирует наше утверждение. Задача графически изображена на рис. 2.7,
а ее решение в Е3 показано на рис. 2.8.
Основываясь на геометрической интуиции, можно изучать многомерную связную
структуру комплекса Ky{X; X) различ-
Основные положения и перспективы развития теории систем 51
ными способами с привлечением алгебраических методов. В связи с этим
рассмотрим некоторые важные понятия.
q-связность. Это понятие связано с изучением цепочек связи в Ky(X; X),
таких, что каждый симплекс в цепи имеет
Точка
Газ неизбежного Электричество
общую вершину с соседними симплексами, <7 = 0, 1, 2, ... ..., dim/C-1.
Геометрически эти цепи содержат достаточно много локальной информации
относительно того, каким об-
разом симплексы, составляющие комплекс, связаны друг с другом. Если
представить себе, что мы можем "видеть" только в пространстве размерности
^ q (скажем, с помощью специальных очков), то, рассматривая комплекс
Кг(Х; К), мы увидим, что он распадается на Qq несвязанных элементов.
Подобное геометрическое представление порождает алгебраическую теорию ^-
связности, позволяющую гораздо
52 Основные положения и перспективы развития теории систем
лучше понять процессы обмена информацией внутри комплекса.
Эксцентриситет. Для того чтобы понять, каким образом отдельные симплексы
"вложены" в комплекс, введем понятие эксцентриситета. Это понятие
отражает как относительную важность данного симплекса для комплекса в
целом (через его размерность), так и его значимость как связующего звена
(через максимальное число его вершин, принадлежащих также любому другому
симплексу). Другими словами, эксцентриситет позволяет увидеть и оценить,
насколько "плотно" каждый симплекс вложен в комплекс.
Образ. Как отмечалось в гл. 1, для описания динамики системы необходимо
ввести отображение каждого симплекса из Ky(X; А,) в соответствующее
числовое поле:
П : 6^ -> k, i = О, 1, ... , dim К,
г = 1, 2, , card К.
Образ П отражает динамические изменения, происходящие в комплексе со
временем. Поскольку каждый симплекс а; обладает характеристической
геометрической размерностью, то же справедливо и для связанных с ним
численных величин. Следует иметь в виду, что геометрическая структура
налагает различные ограничения на изменение образа, т. е. на динамику
системы.
Гомотопия. Вопрос о том, насколько "близким" является данный симплекс
(цепь) к другому симплексу (цепи), представляет как теоретический, так и
прикладной интерес. Если ввести понятие гомотопия, то можно получить
ответ не только на этот вопрос, но и на вопрос о том, можно ли
непрерывным преобразованием трансформировать одну цепь в другую, не
нарушая геометрии системы. Так, например, кривые А и А' на торе (рис.
2.9) являются гомотопными, а кривые
Основные положения и перспективы развития теории систем 53
В и В' нет, поскольку наличие "дырки" в центре не позволяет непрерывно
деформировать В в В'. Аналогичные понятия могут быть введены и для
комплекса К(Х; X), и не исключено, что они могут оказаться полезными при
анализе его структуры.
Хотя с чисто математической точки зрения изложенные геометрические
понятия совершенно элементарны, они все же дают весьма подробную
информацию, необходимую для понимания статической геометрии данного
бинарного отношения и возможной динамики соответствующей ему связной
структуры. (Это довольно смелое утверждение будет подтверждено в
следующей главе многочисленными примерами.)
СЛОЖНОСТЬ
Нет сомнения, что наиболее употребительным прилагательным в литературе по
системному анализу является "сложный". Оно же является и наименее четко
определяемым. Чисто интуитивно мы ощущаем, что сложная система - это
такая система, статическая структура или динамическое поведение которой
"непредсказуемы", "запутаны", противо* речат "здравому смыслу" и т. п.
Короче говоря, сложная система - это нечто весьма сложное (одна из
тавтологий системного анализа). Тем не менее решение проблем, возникающих
