Большие системы. Связность, сложность и катастрофы - Касти Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 2.4. Задержки, вызванные транспортными заторами.
Временное уравнение: = о + А Тд\ Г^о=0,50 и ft=0,0266.
qoo = 2,255 машины в час, соответствующей "параличу дороги". Таким
образом, глобальный (а не локальный) подход позволяет построить
содержательную модель временных задержек в транспортной магистрали с
заторами.
СВЯЗНОСТЬ И ГРАФЫ
Структурная связность системы является, по-видимому, наиболее
существенной ее качественной характеристикой. Кажется очевидным, что с
исчезновением структурной связности исчезнет и сама система, поскольку
само понятие системы подразумевает наличие "чего-то", находящегося в
некотором отношении (или как-то связанного) с "чем-то".
48 Основные положения и перспективы развития теории систем
Анализ задачи построения математического описания связности может быть
осуществлен с помощью различных подходов, причем наиболее удачные из них
построены на использовании теории графов и алгебраической (комбинаторной)
топологии. Это является вполне закономерным, поскольку вопрос о характере
связности "простейших элементов" единого целого интересует алгебру в
гораздо большей степени, чем любую другую математическую дисциплину.
Сущность исследования связности состоит в том, чтобы осознать и уяснить
себе те математические конструкции, ко-
торые описывают характер связи между отдельными компонентами системы 2.
Если вообразить некоторую систему, в которой можно выделить п различных
компонент (подсистем), то можно попытаться изобразить структуру (связную)
2 графом (рис. 2.5): п вершин изображают п подсистем системы 2, а дуга,
соединяющая подсистемы i и /, показывает, что эти две подсистемы
находятся в некотором отношении или как-то связаны между собой. Например,
/-я подсистема может генерировать входы для i-й подсистемы, а i-я
управлять /-й и т. д. Эту схему, естественно, можно развить; так,
например, можно ввести ориентацию на дугах и образовать ориентированный
граф (орграф). Такое представление системы 2 позволит изучать ситуации,
когда i-я подсистема влияет на /-ю, но не наоборот. Кроме того, можно
учесть силу связности, сопоставив каждой направленной дуге некоторое
число и т. д. Все это в конечном счете позволяет определить, какие
компоненты системы 2 влияют на другие ком^ поненты и в какой степени. По
существу, теоретико-графовые модели позволяют несколько лучше понять, как
можно было бы осуществить декомпозицию системы 2 на меньшие составляющие
без потери тех основных свойств, в силу котот рых она и является
системой.
Основные положения и перспективы развития теории систем 49
Пример. Трофические структуры и экологические ииши
Рассмотрим экологическую систему, состоящую из пяти видов: птиц,
насекомых, трав, антилоп и лис (рис. 2.6). Трофическая структура этого
сообщества изображается орграфом, вершины которого соответствуют видам.
Дуга, проведенная от i-ro вида к /-му, означает, что й вид является
Дтицы
Рис. 2.6. Орграф простой системы.
жертвой i-ro вида. По данному графу можно построить матрицу смежности
1 2 3 4 5
Л'тйЦб! 1 0 0 1 1 0
Лисы 2 1 0 1 0 0
Насекомые 3 0 0 0 1 0
Трабы 4 0 0 0 0 0
Антилопы 5 0 0 0 1 0
аналогичную матрице инциденций в теоретико-множествен-ном описании, а
также ряд других показателей, характеризующих важные аспекты системы.
Отметим, что некоторые из компонент (например, травы) кажутся более
важными для системы в целом, чем другие (например, птицы), и, по-
видимому, это связано с такими экологическими понятиями, как трофический
уровень и борьба видов. Важно подчеркнуть, что теоретико-графовое опи-
сание позволяет непосредственно увидеть некоторые геометрические свойства
матрицы смежности.
Как бы ни были важны и удобны теоретико-графовые методы для зрительного
анализа связности, их использование неизбежно связано с трудностями
геометрического и аналитического характера, если учитывается структура
самих компонент. Из общих соображений можно ожидать, что При попытке
описать многомерную структуру планарным
50 Основные положения и перспективы развития теории систем
графом или, более общо, графом, изображенным на плоскости (это не одно и
то же\), многое из геометрической структуры системы будет утеряно или в
лучшем случае скрыто. По этой причине обратимся к другому возможному
способу анализа связности, основанному на топологических идеях.
СВЯЗНОСТЬ И СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ КОМПЛЕКСЫ
Приближенно симплициальный комплекс состоит из множества вершин X и
множества симплексов Y, образованных из этих вершин в соответствии с
заданным бинарным отношением К. Симплициальный комплекс Ky(X; X)
образован множеством симплексов Y, связанных через общие грани, т. е.
через общие вершины. Например, можно положить
У = Х = {птицы, лисы, насекомые, травы, антилопы}.
При этом отношение К таково: симплекс г/,- состоит из всех вершин Xj,
таких, что х,- является жертвой г/,-. Таким образом,
г/i = "птицы"-1-симплекс, состоящий из вершин "насекомые" и "травы",
г/2 = лисы" - 1-симплекс, состоящий из вершин "птицы" и "насекомые"
