Большие системы. Связность, сложность и катастрофы - Касти Дж.
Скачать (прямая ссылка):
телевидении, радио и рекламных афишах. Предположим, что вложение я,-
долл. в i'-й способ рекламы (i-газеты, журналы И т. д.) приводит к сбыту
партии объема //(*<), причем
42 Основные положения и перспективы развития теории систем
функции fi(-) считаются известными. Поскольку компания заинтересована в
максимизации сбыта, рекламодатель сталкивается с решением задачи
максимизации
по всем распределениям {хГаз, хжурн, *рад, хтв, *аф} при внешнем
ограничении
Следовательно, внешнее ограничение возникло из-за ограниченности бюджета,
а не из образа взаимодействия системы с внешним миром.
Рис. 2.2. Траектории полета самолета.
В качестве другого примера внешнего ограничения рассмотрим задачу о
пилоте, которому необходимо прилететь из пункта А в пункт В за
минимальное время. В зависимости от характеристик самолета и других
предположений, математическое решение этой задачи может привести к
оптимальной траектории, показанной на рис. 2.2, б. Очевидно, что такое
решение не учитывает реальных ограничений, имеющихся в этой ситуации,
которые должны быть наложены извне с тем, чтобы сделать задачу
осмысленной с физической точки зрения. Надлежащее внешнее ограничение (у
> 0) привело бы тогда к оптимальной траектории, более похожей на
изображенную на рис. 2.2, а.
СТОХАСТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Несмотря на то что основная направленность настоящей книги такова, что не
возникает необходимости в подробном рбсуждении вопросов, связанных с
неопределенностью, тем
Основные положения и перспективы развития теории систем 43
не менее следует иметь в виду, что при анализе большинства рояльных
системных задач практически ничего не известно достоверно! Независимо от
выбранного математического описания, неопределенности будут
присутствовать в динамике, делях, ограничениях и т. п. При удачном
стечении обстоятельств для неопределенных переменных будут известны с
определенной достоверностью распределения вероятностей. Однако довольно
часто даже распределения вероятностей заранее не известны, поэтому
возникает адаптивная ситуация, р любом случае нельзя считать анализ
законченным без тщательного исследования неопределенностей, присущих
модели.
В дальнейшем будем придерживаться довольно смелого предположения, что
всеми неопределенными эффектами можно пренебречь, т. е. будем считать,
что передаточные функции, динамика состояний и т. д. известны достоверно.
Такое допущение, естественно, должно быть оправдано полученными
результатами, что мы и попытаемся продемонстрировать в каждом отдельном
случае.
ОПТИМИЗАЦИЯ
Одна из наиболее злободневных проблем анализа систем, рассматриваемых в
социально-экономических задачах, - это проблема выбора критерия, т. е.
вопрос о том, каким образом следует сравнивать между собой различные
реализации поведения системы. К счастью, динамические процессы,
наблюдаемые в физических и биологических системах, часто протекают по
вполне определенным законам, которые, как правило, являются следствием
различных принципов минимума или законами сохранения. Однако перенос этих
законов на объекты социальной природы в лучшем случае носит искусственный
характер и, более того, часто просто невозможен.
Поскольку цель этой книги состоит в изучении структуры систем независимо
от вопросов оптимизации, можно позволить себе роскошь оставить в стороне
проблему выбора критерия. Тем не менее, для того чтобы продемонстрировать
значимость этой проблемы, рассмотрим простой пример, иллюстрирующий
ситуацию, когда выбор различных критериев приводит к качественно
различным стратегиям управления.
Предположим, что динамика системы описывается одномерным линейным
дифференциальным уравнением
~df=u(t), х(0) = с,
44 Основные положения и перспективы разбития теории систем
где и - вход, или функция управления. Предположим, далее, что доступные
резервы управления ограничены следующим образом:
(Подобная ситуация возникает, например, при управлении автомобилем, и
тогда функция u(t) есть скорость движения.)
Одним из критериев для данного процесса может быть перевод системы из
начального состояния с в некоторое заданное состояние, например х = 0 за
минимальное время. Хорошо известно, что решение такой задачи имеет вид
т. е. релейное управление является оптимальным.
Предположим теперь, что мы стремимся минимизировать квадратичный
функционал вида
Можно показать, что в этом случае оптимальный закон управления имеет вид
и он может быть реализован в виде обратной связи или синтеза.
Полученные результаты показывают, что изменение критерия качественно
меняет характер решения. В первом случае мы имеем экстремальные
управления, переключающиеся с одной границы на другую в зависимости от
начального состояния. Во втором случае оптимальный закон управления
строится по ходу развития самого процесса и не имеет никаких точек
разрыва. Важно отметить, что, хотя динамика системы остается неизменной,
выбор иного критерия приводит к качественному изменению оптимального
