Большие системы. Связность, сложность и катастрофы - Касти Дж.
Скачать (прямая ссылка):
и процесс повторяют.
Наиболее глубоко разработанной проблемой идентификации систем является
задача построения внутреннего описания линейного отображения вход -выход
с постоянными
Основные положения и перспективы развития теории систем 37
^коэффициентами. Для простоты изложения предположим, что данная система
развивается в дискретном времени с начальным состоянием х0 = 0,
соответствующим начальному моменту времени t0 = 0. Можно показать, что
вход u(t) и выход y{t) системы связаны следующим соотношением:
У (0 = ? At-P (т)>
t > т>о
где все матрицы {Л,} имеют размер Тогда описание
типа вход - выход системы 2 определяется (возможно, бесконечной)
последовательностью матриц {Ль Л2, ...}.
Если внутреннее описание системы X, заданное соотношениями
x(t+l)^Fx(t) + Gu(t), у (/) = Нх (/),
согласуется с приведенным выше внешним описанием, то связь между
матрицами F, G, Н и {Aj) имеет вид
At^HF'-'G, t= 1,2,.... (2.1)
Задача реализации для линейных динамических систем состоит в отыскании
пУСп, п^т и рХ/г-матриц F, G и Н соответственно, удовлетворяющих
соотношению (2.1) и таких, что размерность внутреннего пространства
состояний п минимальна. Иными словами, задача состоит в построении йо
возможности более компактной модели, согласующейся с наблюдаемыми
данными.
К счастью, существуют хорошие алгоритмы решения задачи реализации, если
справедливо следующее предположение: последовательность {Л;} обладает
конечномерной реализацией. Если {At} обладает реализацией размерности п<
оо, то первые 2п членов последовательности {Л;} единственным образом
определяют все остальные члены (теорема Гамильтона- Кели). Таким образом,
задача состоит в определении п по данным {Л,}.
Как и следовало ожидать, подобных отработанных алгоритмов для нелинейных
отображений вход -выход общего вида пока не существует, несмотря на
попытки решения определенных классов задач с некоторой линейной или
алгебраической структурой.
В отличие от наиболее общих задач идентификации (тнла "от внешнего
описания к внутреннему"), так называемые задачи идентификации параметров
исследовались более интенсивно. Эти задачи обычно возникают, когда
имеется твердая уверенность в правильности определения основной
38 Основные положения и перспективы развития теории систем
внутренней структуры системы и невыясненными остаются только численные
значения некоторых параметров.
Предположим, что динамика системы описывается дифференциальным (или
разностным) уравнением
x = f(х, и, а), y(t) = h(x, а),
где а - вектор неизвестных параметров, которые следует определить,
основываясь на значении наблюдаемого выхода системы y(t). В некоторых
случаях входная функция u(t) выбирается таким образом, чтобы усилить
влияние неизвестных параметров. Подчеркнем, что в данной ситуации
существенным является предположение, что функции / и Л, описывающие
структуру системы, известны, хотя относительно их линейности никаких
предположений не делается.
В качестве иллюстрации задач этого класса рассмотрим задачу о динамике
численности некоторой биологической популяции, описание которой может
быть получено с помощью следующих логистических уравнений:
^- = гх (l - - Ex, х (0) = х0.
Здесь х(t) - численность популяции в момент времени t, г - удельная
скорость ее роста в отсутствие лимитирования, К - константа,
характеризующая предельные трофические возможности среды обитания
(уровень насыщения численности), и Е - коэффициент интенсивности изъятия
особей из популяции. Предположим, что имеется возможность измерения
численности популяции в каждый момент времени, т. е.
y(t) = x(t),
но численное значение параметра К неизвестно. В этом случае задача
идентификации параметров состоит в определении К на основе измерения
численности популяции:
К = ------------ для всех / > 0.
х + (Я - г) х
Таким образом, для определения К достаточно знать (наблюдать) y[t) на
любом интервале времени. Однако в более реальных ситуациях, когда имеется
лишь конечное число значений y(t), приходится использовать различные
приближенные методы.
Обобщения этой задачи с учетом неопределенности в измерении x(t), наличия
различных видов в биологической популяции и т. д. представляют собой
достаточно сложные в
¦Основные положения и Перспективы развития теории систем 39
математическом плане задачи. Более подробно эти вопросы т^вещаются в
работах, перечисленных в конце главы1).
Задачи идентификации систем, описываемых с применением более общего
аппарата, например потенциальных функций или теоретико-множественных
отношений, пока еще слабо изучены. В отличие от внутреннего или внешнего
описания на языке дифференциальных уравнений описания дан-його типа в
гораздо большей степени зависят от того, как сам исследователь
представляет себе существо изучаемого процесса. Поэтому в этом случае
постановка и решение задачи идентификации - больше искусство, чем наука,
и со-ч?гоит в основном в выделении таких множеств и отношений
("энергетических" функций), которые приводят к содержательным
