Большие системы. Связность, сложность и катастрофы - Касти Дж.
Скачать (прямая ссылка):
графов, если определить X, Y как множества вершин, соединенных ребрами в
соответствии с отношением Я,. Хотя при таком переходе в значительной
степени утрачивается его гибкость, так как при этом исчезает (в лучшем
случае затушевывается) универсальность отношения к, тем не менее оно
оказывается полезным во многих ситуациях.
Для теории систем наиболее существенным является описание динамики
системы. Поэтому, чтобы понять, каким образом динамические переходы
учитываются при теоретикомножественном описании процесса, введем понятие
образ. Вообще говоря, образ П есть отображение, которое каждому симплексу
из комплекса ставит в соответствие определенное число, т. е.
П: а' -*¦ к,
где а1 - симплекс из К, a k - определенная система чисел (действительных,
целых и т. д.). Поскольку каждый симплекс из К обладает некоторой
геометрической размерностью,
32
Основные понятия и методы системного анализа
которая определяется числом его вершин, то образ П является ранжированным
образом')
П = П0фП,ф ... фПдг,
где N = dim К - размерность наибольшего симплекса из К. Здесь каждое П,
является отображением, определенным только на множестве i-мерных
симплексов из К.
Поясним понятие образа на примере системы хищник - жертва. Напомним, что
мы ввели два множества
X = Множество жертв,
Y = Множество хищников
с матрицей инциденций
X *1 *2 Хз х4 х5 Х6 Х7 х8
У1 1 1 1 1 0 0 0 0
У 2 1 0 1 0 0 0 0 0
= Уз 0 0 0 0 1 1 0 0
У 4 0 1 0 0 1 0 1 1
У5 0 0 0 0 0 0 1 0
Уб 0 1 0 0 1 0 0 0
Таким образом, у\ (люди) - это 3-симплекс, */4 (птицы) - 3-симплекс и т.
д. Образ П при этом ставит в соответствие каждому симплексу некоторое
число, скажем численность популяции в данный момент. Поскольку симплексы
ранжированы по их размерности, то и П, также ранжированы, поэтому в
каждый момент
По: {у5 (рыбы)} -" численность рыб {у2 (львы)} -* численность львов П,:
{у3 (слоны)} -*• численность слонов {yG (лошади)} -* численность лошадей
П2: пусто
Пз: {У\ (люди)} -* численность народонаселения {f/4 (птицы) -*¦
численность птиц Полный образ для данной экосистемы имеет вид П = По(r) П]
ф П2фП3.
Динамику системы можно теперь описать изменениями образа П в каждый
момент времени. Подробная интерпрета-
') В оригинале "graded pattern". - Прим. перев.
Основные понятия и методы системного анализа
33
ция этих изменений как сил, воздействующих на фиксированную геометрию
комплекса, или как "свободных" изменений, допускаемых геометрией
комплекса, дается в гл. 3. Отметим, что первая трактовка соответствует
классическим ньютоновым силам, в то время как вторая отражает основные
положения теории относительности.
ЛИТЕРАТУРА
Детальный анализ леонтьевских экономических моделей дан в работах
Gale D., The Theory of Linear Economic Models, McGraw-Hill, New York,
1960;
Baumol W., Economic Theory and Operations Analysis, Prentice-Hall,
Englewood Cliffs, New Jersey, 1965;
Leontief W., Mathematics in Economics, Bull. Am. Math. Soc., 60, 215- 233
(1954);
Isard W., Kaniss P., The 1973 Nobel Prize for Economic Science, Science,
182, 568-569, 571 (1973).
Пример с водохранилищами взят из работы Sz5115si-Nagy A., State Space
Approach to Hydrology, in Symposium on Mathematical Modeling in
Hydrology, University College, Galway, Ireland, April 1974.
Аналогичные примеры можно найти в работах Bazykin A., Elementary Model of
Eutrophacation, in Analysis and Computation of Equilibria and Regions of
Stability, H. Griimm, ed., CP-75-8, International Institute for Applied
Systems Analysis, Laxenburg, Austria. 1975; Jorpensen S., A
Eutrophication Model for a Lake, Ecol. Mod., 2, 147-165 (1976).
Современная трактовка внутренних описаний системы в терминах переменных
состояния дана в книгах
Casti J., Dynamical Systems and Their Applications: Linear Theory, Аса*
demic Press, New York, 1977;
Brockett R., Finite-Dimensional Linear Systems, Wiley, New York, 1970;
Kalman R., Falb P., Arbib М., Topics in Mathematical System Theory,
McGraw-Hill, New York, 1969.
Результаты описаний динамических процессов типа вход - выход С помощью
аппарата функционального анализа содержатся в книгах Saeks R., Resolution
Space, Operators and Systems, Springer Verlag, Hei* delberg, 1973;
Rosenbrock H., State-Space and Multivariable Theory, Nelson, London,
1970; Luenberger D., Optimization by Vector Space Methods, Wiley, New
York, 1969;
Porter W" Modern Foundations of Systems Engineering, Macmillan, New York,
1966;
Willems J. C., The Analysis of Feedback Systems, MIT Press, Cambridge,
Massachusetts, 1971.
Пример с летающей тарелкой взят из классической работы Ashby W. R.,
Introduction to Cybernetics, Chapman and Hall, London, 1965.
Более полное описание систем С конечным числом состояний дано В работе
Krohn К., Langer R., Rhodes I, Transformations, Semigroups and Methabo-
lism, in System Theory and Biology, M. Mesarovic, ed., Springer Verlag,
New York, 1968.
2 Зак. 1231
34
¦Основные Понятия', и методы: системного анализа
