Большие системы. Связность, сложность и катастрофы - Касти Дж.
Скачать (прямая ссылка):
множества хищников и их жертв, множества типов автомобилей и дорог иЛи
множества предприятий службы быта и предлагаемых услуг. Для описания
связи, существующей между двумя элементами (х, у), х^Х, г/е У, введем на
прямом произведении X н Y бинарное отношение К е X X У.
Основные понятия и методы системного анализа
29
Рассмотрим тривиальный пример, в котором X есть множество товаров, а У -
множество предприятий службы быта. Пусть для определенности
{хлеб, молоко, марки, обувь}
{*i, х2, х3, хА),
{гастроном, универмаг, банк, почта}
{.Уи У2> Уъу Уь*}'
Определим отношение Я на XX У следующим образом:
Отношение Я существует между ли у; тогда и только тогда, когда xi можно
купить в yt.
В этом случае
Я = {(*1> У\), (х2, У\), (х3, у а), (хь у2)}-
Отношение Я удобно представить матрицей инциденций
А У1 У2 Уз У4
JC, 1 0 0 0
= Хг 1 0 0 0
*3 0 0 0 1
х4 0 1 0 0
причем
4 lO ff npomvfaaif случае.
С геометрической точки зрения отношение Я определяет
симплициальный комплекс Кх(У', Я), в котором элементы
множества У рассматриваются как вершины, а элементы множества X являются
симплексами. Так, элемент х{ (хлеб) является 0-симплексом, состоящим из
вершины у\ (гастроном). Если К не содержит r-симплексов (г ^ 3), его
можно изобразить на плоскости. Для предыдущего примера множество К имеет
вид
У\ У2 У*'
• • •
Хотя такая геометрическая структура не представляет осо-
бого интереса, тем не менее она все же показывает, что компт леке не
содержит связных компонент и что вершина г/ъ (банк) не играет никакой
роли в анализе Kx(Y', Я).
Определив подходящие множества X и У и отношение Я, можно перейти еще к
одному отношению, порождаемому Я. Это так называемое сопряженное
отношение Я*, которое получается, если поменять ролями множества Ха У, т.
е. Я*е е УХ^, и строится в соответствии с правилом:
30
Основные понятия и методы системного анализа
Отношение к* существует между yt и х/ тогда и только тогда, когда между
х/ и yi существует отношение к.
Матрица инциденций для X* получается транспонированием матрицы инциденций
для X, т. е.
В результате получим геометрический комплекс Ky(X; в котором X-множество
вершин, a Y-множество симплексов. Можно показать, что для рассмотренного
примера комплекс Ky(X; А,*) имеет вид
который, конечно же, гораздо более содержателен, чем полностью несвязная
структура Кх(У; А,): вершины х\ (хлеб) и Х2 (молоко) связаны 1-симплексом
(гастроном).
Продемонстрируем общность описания систем на языке множеств и бинарных
отношений еще на одном примере.
Пример. Шахматы
Чемпион мира по Шахматам Эммануил Ласкер как-то заметил: "Если из 64
клеток шахматной доски вы контролируете 33, то преимущество на вашей
стороне". Для нас данное высказывание представляет особый интерес, так
как оно свидетельствует о том, что главное для шахматиста - это
"стратегическое" содержание игры, которое мы можем выразить
непосредственно в виде отношения между множеством фигур и множеством
клеток шахматной доски.
Рассмотрим два отношения и Хв, где Xw определяет связь между белыми
фигурами и клетками доски, а Хв - то же для черных. Определим множества X
и У как
•) Используются стандартные международные обозначения для фигур: король -
К, ферзь - Q, слон-'В, конь - N, ладья - R, пешка - Р; при этом
предполагается, что клетки доски также упорядочены соответ-ствукнцим
образом..
г) Имеются в виду следующие обозначения: буква Q в 'двухбуквенных
символах означает ферзевый фланг, а К - королевский. Средняя буква в
трехбуквенных символах (для пешек) обозначает фигуру, перел которой стоит
данная пешка в начальной позиции. - Прим. перев.
А* = Л\
{фигуры}1'
A=={QR, QN, QB, Q, К, КВ, KN, KR, QRP, QNP, QBP, QP, КР, KBP, KNP,
KRP}2),
К = {клетки}.
Основные понятия и методы системного анализа
31
Пусть заданы Хг и y-j; определим отношение X* следующим образом:
(лг*. t//)e тогда и только тогда, когда фигура х, "ага-Щ/ет" клетку у\.
Иод термином "атакует" понимается одна из следующих ситуаций.
- Если ход белых и если фигура х,- не пешка и не ко-•роль, то ход х,-
>- у/ - правильный (разрешенный) ход.
- Если фигура х,-- пешка, то клетка yi находится под боем со стороны
фигуры X;.
- Если клетка у/ занята белой фигурой, то фигура х, защищает эту
фигуру.
- Если фигура х; - белый король, то клетка у/ является соседней
клеткой по отношению к клетке, занимаемой фигурой Xi.
- Если клетка у/ занята черной фигурой (но не королем) и если ход
белых, то взятие данной черной фигуры фигурой Xi - правильный ход.
- Черный король занимает клетку у-, и находится под ЙаХОМ фигуры Xi.
Аналогично определяется отношение %в.
Отметим, что %w зависит от состояния игры (от расположения фигур на доске
и от того, чей ход).
Внимательный читатель, несомненно, заметил некоторое хясбдство между
теоретико-множественным описанием системы и более привычным описанием в
терминах теории графов И& яаыке узлов и дуг (или вершин и ребер). По
существу, цанное выше определение совпадает с описанием на языке Теории
