Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Аор(/ ® a)R = RA(f ® а).
(1) Мы утверждаем, что R есть обратимый элемент, обратный к которому есть
Д = ^(1®ег)®((е%5)®1).
ієі
Рассмотрим элемент ? = b®u®c®vEH®X®H®X. Вычислим его значение на RR, используя двойственность между H и X. Получим
(RR, 0 = Е^1®6*6?)®^^0^)®1),*'®"®^®^) = і,je/
(с) i€l jel
= e(b)v(l)u(j2c'S(c")) =
(с)
= e(b)v(l)e(c)u(l) = = (і®і®і®і,0-
Следовательно, RR = 1 ® 1 ® 1 ® 1. Аналогично доказывается, что R является левым обратным к R.
(2) Теперь мы проверим, что (А ® id) (i?) = R13R23, или, что равносильно,
E 1 ® ei ®1 ® ei ®е' ®1 = E1 ®Єі ®1 ® ез ®e%ej ®
і€І, (Єі) ij€/ 9.4. Квантовый дубль Дринфельда
273
Вычислим значение левой части на элементе 0 = а®і(8>Ь(8>гі(8>с(8>г>из тензорного произведения Н®Х®Н®Х®Н®Х. Мы имеем
((A® id )(Д),0) = ( Y 1®е-®1®е;' ®ег®1,0) =
ІЄІ, (Єі)
= s(a)s(b)v(l)( Y е'те'МеЧ)).
Ш, (Єі)
Отметим теперь, что
$>'®а" = E е'(а) e'i ® е'1- (4-7)
(а) гЄ/, (е»)
Соотношение (4.7) получается применением коумножения в H к а = = Yliei е*(а) ег- Используя (4.7), мы получаем
ІЄ/ (с)
Следовательно,
((А ® id)(A), 0) = ?Є(а)е(Ь)т,(1)t(c')u(c").
M
С другой стороны, мы имеем
<A13A23,0) = е(а)е(Ь)и(1) Yj t(ei)«(ei)(eV')(c) =
і,ІЄІ
= є(а)є(Ь)у( 1) Yt(E eVte) «(? ^ (</>,-) =
(с) ІЄ/ jel
= e(a)e(b)v(l)Yt(c>(c") =
(с)
= {(A®id )(Я),0).
Аналогично проверяется, что (id <g> Д)(Д) = RnRu- 274
Глава 9. Квантовый дубль Дринфельда
(3) Вычислим значение Дор(/ ® a)R на ? = 6®u®c®«. Мы имеем
(Д°р(/®а)Д,?) = E <(/" ®а")(1 <8> е;) <8> (/' <8>а')(е* <8> 1),0 =
(а)(/), ІЄ/
= E ® а""Єі ® /'еі(5,-1(а'")?а') ® а". ?> =
(а)(/), ІЄ/
= E /"(%(а''''е*)/'(с')еЧ5-^У'а>(а'') =
(a)(c)(f), ІЄІ
= E /(6c')«(a""e<(S-1(a",)c"a')ei)«(a") =
(а)(с), І6/
= E f(bc')u(a""S-l(a"')c"a')v(a") = (а)(с)
= J2 ?(a'")f(bc')u(c"a')v{a") = (а)(с)
= E /(Ьс>(с"а>(а").
(а)(с)
С другой стороны,
(ДД(/®а),?) = E ((1®е0(/'®а')®(^® 1)(/"®а"),Є) = (а)(Л.
E (/'(^(О^) ® ej'fl' ® е7" ® а",е) =
(a)(1), і€І, (єі)
E /,(5-1(еГ)Ц)«(е"а')еі(с')/"(С")г;(а") = (a)(0)(f), І€І, (є,)
E /(c" 5-1(e"')6e^)u(e"a')ei(c')t;(a"). (а)(с), ге/, (є,-)
Применение (Д ® І0я)Д К равенству С = еЧс)ег дает
с'® с"® с"'= E ег(с) е'г®е'1®е'1'. (4.8)
(с) іе/, (е() 9.4. Квантовый дубль Дринфельда
275
Используя (4.8), мы получаем
<ДД(/®а),?) = E /(c''"S-V>c')u(c"a>(a'') =
(а)(с)
= E ?(c'")f{bc')u(c"a')v(a") = (о)(с)
= J] f(bc')u{c"a')v(a") = (а)(с)
= (Дор(/®а)Д,?). ?
9.4.3. Квантовый дубль групповой алгебры
Мы заканчиваем этот параграф применением конструкции квантового дубля к конечномерной кокоммутативной алгебре Хопфа k[G], где G — конечная группа. Из предложения 4.3 мы знаем, что -D(k[G]) есть скрещенное произведение.
Пусть {eg}g?Q — базис, дуальный к базису {g}g€o алгебры k[G], Нетрудно проверить, что двойственная алгебра (k[G]op)* есть алгебра kG с умножением, заданным формулой13
для всех g,h Є G, и единицей 1 = X^eG eS ¦ Коумножение Д, коединица є и антипод S в (k[G]op)* задаются формулами
для любого элемента g Є G.
Данное ранее описание квантового дубля показывает, что множество {eg/i}(9,/i)eGxG есть базис в Z>(k[G]). Умножение в этом квантовом дубле задается формулой
ЄдЄ/і - sgfl ?g
(4.9)
uv=g
heg = ehgh~lh.
(4.11)
13 kG — стандартное обозначение алгебры функций на G со значениями в к. Прим. ред. 276
Глава 9. Квантовый дубль Дринфельда
откуда снова видно, что алгебра Z>(k[G]) изоморфна скрещенному произведению алгебры к [С?] на себя для действия внутренними автоморфизмами. Ее универсальная /^-матрица есть
R = J29®eg- (4.12)
geG
Хотя этот квантовый дубль и некокоммутативен в случае неабелевой группы G, его антипод инволютивен, откуда следует, что элемент
" = EviS' (4ЛЗ)
geG
введенный в параграфе 8.4, является центральным в Z>(k[G]). Мы также имеем
S (и) = и. (4.14)
9.5. Интерпретация квантового дубля с точки зрения теории представлений
Пусть H = (Н, р,, г}, A, ?, S) — конечномерная алгебра Хопфа с обратимым антиподом. Снова выберем конечный базис {аг};є; в H вместе с дуальным базисом {аг}іЄ/. Цель этого параграфа — описать модули над квантовым дублем D(H). Ввиду соотношения (4.5) Р(Я)-модуль есть не что иное, как векторное пространство V со структурами левого H-модуля и левого ії*-модуля такими, что для всех а є Н, f Є Н* и v є V мы имеем
(а)
Мы хотим переформулировать эти условия чисто в терминах Н, без каких-либо ссылок на двойственную алгебру Н*. Введем сперва следующее понятие.
Определение 9.5.1. Скрещенным Н-бимодулем называется линейное пространство V вместе с линейными отображениями pv '¦ H <8> V V и Ay : V —> V <8> H такими, что 9.5. Интерпретация квантового дубля согласно теории представлений 277
(i) отображение ?v (соответственно Av) превращает V в левый Я-модуль (соответственно в правый Я-комодуль) и
(ii) диаграмма
H®V
Agiidv
Д®Ду
Я<8Я®V<8Я
H ®v ®н ®н
HV
V®H
