Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
e(xf) = ФИ/)
Yj(Xf)' ® (Xf)" = E ® x"f". (3.3)
(*/) (x)(f)
Но действительно,
ФЯ = (Xf)(I) = f(S~\x) 1) = e(S~1(x))f( 1) = є(х)є(/),
так как х\ = е(х)\. Проверим равенство (3.3), вычислив значения обеих его частей на элементе а ® Ь Є A <g> А. Мы имеем
(а ® Ь, Y(Zf)' ® (*/)") = Е<а' (*/)'№> (xf)") =
(Xf) (Xf)
= (Ьа. Z/) = = (S-1OrXba),/) =
= E ((S-X(x)'b)(S-l(x)"alf) = (S-Hx))
= E (S-1(x")b,f")(S-l(x')a,f) =
= Е<а,*7'><М"/"> =
= (а®6, E x'f'®x"f").
(x)(f)
Аналогично доказывается утверждение для правого действия. ? 264
Глава 9. Квантовый дубль Дринфельда
Из предложения 3-ій леммы 3.2 мы немедленно получаем
Следствие 9.3.3. Пусть H = (Н, fi,r), A,e,S, S-1) — конечномерная алгебра Хопфа с обратимым антиподом S. Тогда на алгебре Хопфа (Hop)* = (Н*, А*,е*, (fiop)*,r]*, (S-1YfS*), двойственной к противоположной к алгебре Н, существует, и притом единственная, структура левой (соответственно правой) H-модульной коалгебры, задаваемая для любых а, X є H и / є Н* формулой
(а,х- f) = YiS-1 (x")ax',f)
(X)
(соответственно (a,fx) = Y^(x"aS~1(x'), f)).
(X)
Эти действия будут называться левым и правым коприсоединенными представлениями алгебры Н. Применяя следствие 3.3 к алгебре Хопфа
(Hcop)* = (H*,(Aop)*,?*,fi*,ri*,(S-1)*,S*)
и используя естественное отождествление дважды двойственной алгебры H** с Н, мы получаем структуру правой (Hcop)*-модульной коалгебры на алгебре Хопфа
Я = (Я,^AjE,S1S-1).
Согласно следствию 3.3.5 алгебра Хопфа (Hcop)* изоморфна алгебре Хопфа (Hop)* = (H*,A*,?*,(fiop)*,T]*,(S-1)*,S*) с помощью отображения S*. Этот изоморфизм индуцирует правое действие (Hop)* на Я. Мы подводим итог следующим утверждением.
Предложение 9.3.4. В предположениях следствия 3.3 на H существует, и притом единственная, структура правой (Hop)*-модульной коалгебры, задаваемая для а Є Я и f Є Я* формулой
af = Y f(S'1(a"')a')a".
(а)
Доказательство. Пусть f,g є H*, и а є Я. Согласно следствию 3.3 действие алгебры (Hcop)* на Я задается формулой
(af,9) = Y^f"9S*(f)). (/) 9.3. Вариации на тему присоединенного представления
265
Вычисляя в (Hcop)*, мы получаем
(o',g) = Y (a"'J")(a",9)(a',S*(f)) =
= Y^(a')J')(a'",f")(a",g) = (/xа)
= Y((S(a')a"',f)a",9) =
(a)
= J2(f(S(a')a"')a",g).
(a)
Следовательно, правое коприсоединенное действие алгебры (Hcop)* на H задается формулой
а'= ?/№>">"•
(а)
Взяв композицию с (S1-1)*, мы получаем правое действие алгебры (Hop)* на Н, определенное по формуле
Qi(S-1Yif) = af°s-i = ?/(sri(s(0')a'"))a" = Y/(S1" V»"- ?
(а) (а)
Теперь мы сформулируем основное утверждение этого параграфа. Оно позволит нам в следующем параграфе построить квантовый дубль Дринфельда.
Теорема 9.3.5. Пусть (Н,р,г), А, є, 5, S1-1) — конечномерная алгебра Хопфа с обратимым антиподом. Рассмотрим алгебру Хопфа
X = (Hop)* = (H*,A*,?*,(pop)*,r)*,(S~1)*,S*).
Пусть а:Н®Х -^X u?\H®X—> H — линейные отображения, заданные формулами
a(a®f) = a-f = Y /(S-V)?*')
(a)
?(a®f) = af =
(a) 266
Глава 9. Квантовый дубль Дринфельда
где а є Н, a / є X. Тогда пара алгебр Хопфа {Х,Н) является сочетающейся в смысле определения 2.2.
Доказательство. В этом доказательстве мы систематически используем сигма-обозначения Свидлера (введенные в параграфе 3.1), а также определения отображений а и /?, условие на коединицу є и соотношение Yl(a) a"S~l(a') = є(а). Знак вопроса ? обозначает немую переменную. Следствие 3.3 и предложение 3.4 означают, что а и ? задают на каждой из алгебр Хопфа структуру модульной коалгебры над другой. Мы должны также проверить соотношения (2.1)-(2.5) из определения 2.2.
Соотношение (2.1): Для всех х Є H мы имеем (*,?>'¦/%»'"" ¦*)) =
= E (a'-f')(x')(a"f" -9)(х") =
= E /'(A-^aWjx'aWjrCSr-iCaWjaWXaW = = E /'(S-VV^V'^-VV^^VVV4)) =
(0)(/)(1)
= E /(S" VV3)S~ VVg(10<?(S-VVV4') =
(e)(i)
= E V^/^-VV^O^V'VV3)) =
(a)(z)
= E /(S-VVaO^VVV'),
(axz)
что доказывает равенство (2.1). Соотношение (2.2): Мы имеем
а-є = Y E(S-1W)Ia') = Y Е(а')е(а")е = е(а)е.
(а) (а)
Соотношение (2.3): Мы должны показать, что
(ab)' = Y a.b' f'b"t". тл 9.3. Вариации на тему присоединенного представления
267
Но действительно, E Ob'1' b"f" = J2 f\S-\b")S-Ha")ab')f"(S-l(b'"")b'")a"b"" =
(&)(/) (a)(b)(f)
= Y f{S-\bn,")b'"S-l{b")S-l{a!")a'b')a"b"" =
(e)(6)
= Y ^b^KS^ib^S^W^b^b'" =
(a)(6)
= E f{s-l(b,n)S-l{au,)a,b')a"bn =
(a)(6)
= Yf{s~1((abY")(aby)(abY' =
(ab)
= (ab)'.
Соотношение (2.4): Мы имеем l/ = /(1)1 = є(/)1. Соотношение (2.5): Нужно проверить, что
Y а'Г ® а" • /" = E а,,/" ® а' ¦ /'• (3.4)
(*)(/) (")(/)
Для левой части (3.4) мы получаем
Y о-'1' ® а" ¦ /" = E /'(S^fa'»" ® f"(S~1(a""')?a"") = (*)(/) (*)(/)
= ?a"® /(5"1 (a'"")?a""S~l(a'")a!) =
(а)
= ?ф'")а"®/(5г4а"")?а/) =
(а) («)(/)
а для правой части
E a"7" ® о! • /' = E /"(S,_4a,"")a'")a"" ® F(S-1W)Ia') = = E а"" ® /(5-4а""')а"'5-4а")?а0 =
(а) 268
Глава 9. Квантовый дубль Дринфельда
