Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
(x)(a)
= E x'((a'SA(a""')).Sx(x""))®
(X)(a) ® a"SA(a""^'Sx(x>"^Sa{a"')Sx(x"' =
= J] x'{(a>SA(a""))-Sx(x"'))®(a"SA(a'"))s*^ = (1xa)
= E ^((^5^(^0)-5^^))0 6(^)6(5^(^))1 = (ixa)
= J] x'((a'5A(a"))-5x(x"))®l =
(x)(a)
(x)
= є(а)є(х) 1 ® 1 = є(х ® a)l ® 1.
Аналогично, мы имеем
Y S(x'®a')(x"®a") = (ixa)
= E (SA(a")-Sx(x")®SA(a')Sx^)(x"'®a"') = (ixa)
= J] (SA(a"') ¦ Sx(x"'))(SA(a")Sx^ ¦ x"") ®
(x)(a)
®SA(a')s*W""a"" = = Y S*(a") ¦ (Sx(x")x"') ® SA(a')Sxix')x""a"' =260
Глава 9. Квантовый дубль Дринфельда
(ixa)
(xxa)
?(1)^105^')1/ =
(а)
= є(х)є(а) 1 <g> 1 = є(х <g> a)l <g> 1.
?
Мы завершаем этот параграф тремя примерами.
Пример 1. Как уже отмечалось, если (ff, К) есть сочетающаяся пара групп, то пара (к[Я], k[if]) есть сочетающаяся пара биалгебр. Более того, групповая алгебра бискрещенного произведения изоморфна бис-крещенному произведению групповых алгебр:
пример 2. (Тензорное произведение биалгебр.) Пусть X и А — биалгебры. Пусть каждая из них действует на другой тривиально, то есть
для всех а Є А и х Є X. Легко видеть, что эти тривиальные действия удовлетворяют условиям определения 2.2. В частности, обе части соотношения (2.5) равны x<S) а. Формулы из теоремы 2.3 показывают, что в этом случае бискрещенное произведение X А изоморфно тензорному произведению биалгебр X ® А.
Пример 3. (Скрещенное произведение биалгебр.) Это понятие аналогично понятию полупрямого произведения групп. Пусть X и А — биалгебры. Предположим, во-первых, что X действует на А тривиально, как и в примере 2, то есть ах = е(х)а для всех а Є А и х Є X, а, во-вторых, что А действует на X с помощью отображения а, которое превращает X не только в модульную коалгебру, но и в модульную алгебру, и, в-третьих, что выполнено соотношение совместимости
а ¦ X = є(а)х и ах = є(х)а
(2.8)
(a)
(a)9.3. Вариации на тему присоединенного представления
261
которое удовлетворено, например, если А кокоммутативна. Тогда X и А образуют сочетающуюся пару, а соответствующее бискрещенное произведение называется скрещенным произведением биалгебры А на X. Умножение в скрещенном произведении задается формулой
(х®а)(у®Ь) = ^2х(а'-у)®а"Ь. (2.9)
(а)
9.3. Вариации на тему присоединенного представления
Пусть (Я, А, є, S) — некоторая алгебра Хопфа. Для элементов а, X Є Я, положим
а ¦ X = E a'xS(a") и Xa = J^ S(a')xa". (3.1)
(а) (а)
Предложение 9.3.1. Отображение (а, х) а • х задает на биалгеб-ре H структуру левой модульной алгебры над собой. Мы обозначаем через adH определенный таким образом H-модуль и называем это действие левым присоединенным представлением биалгебры Н. Аналогично, отображение (х, а) ха задает на H структуру правой модульной алгебры над биалгеброй H. Мы обозначаем через Ha^ определенный таким образом Н-модуль и называем это действие правым присоединенным представлением биалгебры H.
Доказательство. Мы дадим доказательство для левого присоединенного действия. Сначала мы проверим, что отображение (а, х) н-» а ¦ х задает на Я структуру Я-модуля. Действительно, мы имеем 1 ¦ х = х и
Ъ ¦ (а ¦ х) = J] b'a'xS{a")S(b") = J^iba)'xS{(ba)") = (ba) ¦ х
(e)(6) (ba)
для всех а,Ъ,х Є Н. Покажем, что H является модульной алгеброй над Я. Мы имеем
а- 1 = JV1Sr(Ow) = Ф)1
(а)262
Глава 9. Квантовый дубль Дринфельда
E(а' • х)(а" ¦ у) = J2a'xs(a")a"'vs(a"") =
(а) (а)
= J2a'x?(a")yS{a'") =
(а)
= 5>'syS(a") =
(а)
= а • (ху). ?
пример 1. (Сопряжение в группе.) Пусть G — некоторая группа, к[Сг] — ее групповая алгебра Хопфа. Левое присоединенное действие алгебры к[С7] задается для всех а,х E G формулой
а ¦ X = аха"1.
Пример 2. (Присоединенное представление алгебры Ли.) Пусть L — некоторая алгебра Ли, U(L) — ее обертывающая алгебра, снабженная канонической структурой алгебры Хопфа (см. параграф 5.2). Левое присоединенное действие алгебры U(L) задается для а,х E L формулой
а ¦ X = ах — ха.
Соответствующее действие L называется присоединенным представлением алгебры Ли L.
Теперь мы хотим получить так называемое коприсоединенное представление алгебры H на двойственном векторном пространстве Н* из определенного выше присоединенного действия. Мы будем использовать следующую лемму.
Лемма 9.3.2. Рассмотрим алгебру Хопфа H с обратимым антиподом S и алгебру А, которая является левой (соответственно правой) модульной алгеброй над Н. Зададим на двойственном векторном пространстве А* структуру левого (соответственно правого) H-модуля по формуле
(a,xf) = (S~1(x)a, f) (соответственно (a, fx) = (aS^1 (х), f))
для всех а Є A, XEffufEA*. Если алгебра А конечномерна, то коалгебра (Aop)* является модульной коалгеброй над Н.9.3. Вариации на тему присоединенного представления
263
Коумножение на конечномерной коалгебре (Aop)* противоположно коумножению в двойственной коалгебре А*; иначе говоря,
(ab,f) = J2(b,f')(aj") (3.2)
(/)
для всех а, Ь Є А и / Є (Aop)*.
Доказательство. Проверка того, что А* является левым Я-модулем, не представляет труда. Покажем, что левое действие алгебры ff на А* задает структуру H-модульной коалгебры на А*. Нужно только проверить, что отображение из H <g> А* в А*, определяющее действие H на А* есть гомоморфизм коалгебр. Более точно, должны иметь место равенства