Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
a: G X X X.
Переходя к линейной оболочке, получаем гомоморфизм коалгебр
a: k[G X X] к[Х]
для структур коалгебр, введенных в примере 3 параграфа 3.1. Взяв композицию с естественным изоморфизмом
k[G]®k[X]^k[Gx4
который уважает структуру коалгебры согласно предложению 3.1.4, мы видим, что групповое действие G на множестве X приводит к действию алгебры Хопфа k[G] на коалгебре к[Х] такому, что структурное отображение
k[G] ® к[Х] к[Х]
является гомоморфизмом коалгебр. Коалгебра к[Х] является, таким образом, модульной коалгеброй над алгеброй Хопфа k[G] в смысле следующего определения.
Определение 9.2.1. Пусть H — некоторая биалгебра, С — коалгебра. Мы говорим, что С есть модульная коалгебра над Н, если задан гомоморфизм коалгебр H ® С —> С, индуцирующий на С структуру //-модуля.
Мы готовы дать определение сочетающейся пары биалгебр. 256
Глава 9. Квантовый дубль Дринфельда
Определение 9.2.2. Пара биалгебр (X, А) называется сочетающейся, если заданы линейные отображения а\ A®X-)Xvi?\ А®Х—> А, превращающие X в модульную коалгебру над A, a А — в правую модульную коалгебру над X такие, что, если положить
а(а ® х) = а ¦ х и ?(a<8>x)=ax,
то будут выполнены следующие соотношения:
а -(ху) = ? (а'-у), (2.1)
а-1=е(а)1, (2.2)
(аЪ)х= Y аь' х'ъ"х", (2.3)
I1^e(X)I, (2.4)
Y а'*' ® а" ^"=Y а"Х" ® а' • (2"5)
(а)(х) („)(«)
для всех а,Ь Є А и х,у Є X.
Заметим, что условие (2.5) выполнено автоматически, когда обе биалгебры А и X кокоммутативны. Подчеркнем также, что определение 2.2 является прямым обобщением определения 1.1. Как базовый пример сочетающихся биалгебр можно взять пару (к[Я], k[-K]) групповых алгебр, где (Н, К) — сочетающаяся пара групп.
Так как отображения а и ? являются гомоморфизмами коалгебр, мы имеем равенства
Л(а ¦ х) = Y а'' х> ® а" ' х" и є(а ' х) = ?(аЫх) (2-6)
(а)(х)
в X и равенства
А(ах) = Y а'Х> ® а"Х" и е(аж) = е(а)Ф) (2-7)
(а)(х)
в А. Сформулируем теперь основной результат этого параграфа; он является естественным обобщением предложения 1.2. 9.2. Бискрещенные произведения биалгебр
257
Теорема 9.2.3. Пусть {Х,А) — сочетающаяся пара биалгебр. Тогда на векторном пространстве Х®А существует, и притом единственная, структура биалгебры с единицей 1 ® 1, в которой умножение задается формулой
(я ® а)(у ® 6) = E х(а>' У') ® о!'у"ь, ЫЫ
коумножение — формулой
А(х ® a) = E (х' ® а') ® (х" ® а")'
(а)(х)
а коединица — формулой
є(х ® а) = є(х)є(а)
для всех X, у Є -X", а,Ь Є А. Снабженное этой структурой биалгебры пространство X ® А называется бискрещенным произведением биалгебр XuAu обозначается X txs А. Кроме того, включения ix{x) = x ® 1 и іа{о) = 1 ®cl из X и А в X м А являются гомоморфизмами биалгебр. Мы также имеем
х®а = (ж® 1)(1 ® а)
для всех а Є А и х Є X.
Если биалгебры XuA имеют антиподы, обозначенные соответственно через Sx и Sa, то бискрещенное произведение является алгеброй Хопфа с антиподом S, заданным формулой
S(x ® а) = J] 5л(а") • Sx(x") ® SU(a')5x(l,). (ixa)
Доказательство. Из приведенных выше формул следует, что бискрещенное произведение наделено структурой коалгебры как тензорное произведение коалгебр X и А. Отсюда очевидно, что ix и і а являются гомоморфизмами коалгебр. Остается доказать, что X м А имеет структуру алгебры, а коумножение и коединица, а также отображения ix и і а являются гомоморфизмами алгебр.
Начнем с ассоциативности умножения. Простое, но утомительное, вычисление с использованием соотношений (2.1) и (2.3) и того факта, 258
Глава 9. Квантовый дубль Дринфельда
что и а, и ? являются гомоморфизмами коалгебр, показывает, что если X, у, Z Є X и а, Ь, с Є А, то значения обоих выражений
((ж® а) (у ®6))(z® с) и (я®а)((у®Ь)(;г®с))
равны
E х(а' ¦ y)((a"v"b') ¦ z') ® а'"У"^ь" z^bfffz'" с. (*)(»)(»)(*)
Для единицы мы получаем, используя (2.2) и (2.4):
(1® 1)(®®а) = ЕС1'®')®11"0 = Ylx' ®є(х")а = = х®а
(х) (х) (х)
И
(ж®а)(1®1) = J^x(Of-I)Qa"1 = ^х?(а')®а" = Ех®є(а')а" = х®а"
(а) (а) (а)
Докажем, что коединица есть гомоморфизм алгебр. Мы должны проверить, что
е((х ® а)(у ® Ъ)) = е(х ® а)є(у ® 6) = є(я)є(а)є(у)є(Ь).
Но действительно, левая часть равна
е( E • у') ®а"У"ь) = E Ф)Ф' ¦ у')Ф',г/")Ф) =
= ф)е(Ь)(5] е(а')е(у')е(а")е(у")) = (а)(у)
= є(х)є(Ь)є(а)є(у)
ввиду (2.6) и (2.7). Для завершения доказательства выведем из соотношения (2.5), что коумножение есть гомоморфизм алгебр. Мы имеем
А(х ® а)А(у ® Ь) = E xV' ® а"У"6' ® ' У""> ® a'"/J/""0"
и, с другой стороны,
А((х ® а)(у ® 6)) = E ¦ f') ® ® ж"(а" ¦ f") ® a'",y""0"-
(х)(а)(у)(Ь)
Эти выражения совпадают ввиду соотношения (2.5). 9.2. Бискрещенные произведения биалгебр
259
Теперь предположим, что А и X имеют антиподы. Мы должны проверить, что формула
S(x ® a) = Y Sa(cl") ¦ sxw) ® 5A(a')Sx(l,)
(*)(а)
задает антипод на биалгебре X м А. Используя тот факт, что S,\ и Sx — антиподы, мы получаем
Y (х'®a')S{x" ®а") = (ixa)
= J] (*' ® a'){SA(a"') ¦ SxW") ® SA(a")Sx^-x"^) =
