Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
(а) Тогда k[a;,t/] становится модульной алгеброй над U(.sl(2)).
(б) Подпространство к[ж, у]п однородных многочленов степени п является подмодулем модуля к[х,у], изоморфным простому в\(2)-мо-дулю V(n).140
Глава 5. Алгебра JIu алгебры SL(2)
Таким образом, мы упаковали в один модуль все простые конечномерные [/(зї(2))-модули, благодаря понятию модульной алгебры.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, (а) Сначала мы проверим, что указанные формулы задают действие алгебры Ли sl(2) на к[ж, у]. Мы имеем
ду
д2Р УХ дхду
д ( дР\ д (
ду дї[х
дР д2Р эр
дх дудх
= hp.
Аналогично показывается, что [Я, Х]Р = 2XP и [Я, Y]P = -2YP.
Для проверки того, что мы имеем дело со структурой модульной алгебры, достаточно согласно лемме 6.3 показать, что образующие X,Y,H действуют на алгебре к [ж, у] дифференцированием, что, очевидно, верно.
(б) Зафиксируем неотрицательное целое п и положим v = хп Є Є k[x,y]n. Очевидно, что v есть старший вектор веса п. Для всех р^ 0 мы имеем
= ^ = ( P )
если р ^ п, и Vp = 0, если р > п. Так как мономы {vp}p порождают пространство к [ж, у]„, оно является 5І(2)-модулем, порожденным старшим вектором веса п. Следовательно, по теореме 4.4 этот модуль изоморфен простому модулю V(ті). ?
5.7. Двойственность между алгебрами Хопфа f/(sl(2)) и SL(2)
Главной целью настоящего параграфа является установление связи материала этой главы с главой 1 путем построения двойственности между U = [/(51(2)) и алгеброй Хопфа SL(2) из параграфа 1.5. Мы начнем со следующего определения, данного Такеучи в [Так81].5.7. Двойственность между алгебрами Хопфа U (s 1(2)) и SL(2)
141
Определение 5.7.1. Для данных биалгебр (U,p,r],A,e) и (Н,р,г),А,е) и билинейной формы ( , ) на U х H мы говорим, что эта форма реализует двойственность между UnH, если для всех u,v Є U и х,у Є H мы имеем
(ш,х) = ^^х')(и,х"), (7.1)
(х)
(u,xy) = Y^ <«', <«", у), (7.2)
(1,*)=ф) (7.3)
и
(и, 1) =є(и). (7.4)
Если, кроме того, UnH являются алгебрами Хопфа с антиподами 5, то говорят, что они связаны отношением двойственности, если они двойственны как биалгебры, и, кроме того, мы имеем
(S(u),x) = (u,S(x)) (7.5)
для всех и Є U, x Є H.
Дадим мотивировку этого определения. Пусть ip — линейное отображение из U в двойственное векторное пространство H*, заданное формулой
<р(и)(х) = (и,х).
Аналогично, формула ф(х)(и) = (и, х) определяет линейное отображение из H в U*. Из предложения 3.1.2 мы знаем, что двойственные пространства U* и Н* естественным образом наделяются структурами алгебр. Если, вдобавок, векторное пространство H конечномерно, то двойственное пространство Н* имеет естественную структуру биалгебры, индуцированную аналогичной структурой на H (см. параграф 3.2, пример 1). Теперь мы готовы к тому, чтобы охарактеризовать отношение двойственности между биалгебрами.
Предложение 5.7.2. Пусть UuH — данные биалгебры. Данная билинейная форма ( , ) на U х H реализует двойственность между U и H тогда и только тогда, когда соответствующие линейные отображения (риф являются гомоморфизмами алгебр.142
Глава 5. Алгебра JIu алгебры SL(2)
Если, кроме того, биалгебра H конечномерна, то данная билинейная форма реализует двойственность тогда и только тогда, когда (р есть гомоморфизм биалгебр.
Мы будем говорить, что двойственность между U и H совершенна, если оба отображения (риф инъективны. В случае, когда U vi H конечномерны, совершенная двойственность между ними индуцирует изоморфизмы между биалгебрами U и H*, а также между HnU*.
Доказательство. Выразим формулами тот факт, что (р — гомоморфизм алгебр. Напомним, что единица в Н* двойственна к коединице в H и произведение двух линейных функций а и ? из Н* определяется для всех X Є H формулой
(a?)(x) = ^ФЖх").
(x)
Тогда соотношения </?(1) = 1 и (p(uv) = (p(u)(p(v) означают, что (1,х) = (р(1)(х) = є(х) и
('UV,X) = (p(uv)(x) = {(p(u)<p{v)){x) =
(х)
Получаем, что соотношения (7.1) и (7.3) из определения 7.1 равносильны тому, что (р является гомоморфизмом алгебр. По симметрии, соотношения (7.2) и (7.4) эквивалентны тому, что ф есть гомоморфизм алгебр.
Предположим теперь, что пространство H конечномерно. Тогда двойственное пространство Н* является биалгеброй. Мы уже записали условие, что отображение (р есть гомоморфизм алгебр. Выразим теперь условие, что оно является гомоморфизмом коалгебр. С одной стороны, равенство Є(р = є, означающее, что (р сохраняет коединицу, записывается в виде
e(u) = (e<?)(u) = <?(u)(l) = <u,l).5.7. Двойственность между алгебрами Хопфа U (s 1(2)) и SL(2)
143
С другой стороны, если ip коммутирует с коумножением, то мы имеем
(и, ху) = ip(u)(xy) = A(ip(u))(x ®у) =
(и) (и)
Таким образом, отображение ip есть гомоморфизм коалгебр тогда и только тогда, когда удовлетворены соотношения (7.2) и (7.4). ?
Вернемся теперь к обертывающей алгебре U = J7(st(2)). Мы хотим установить двойственность между ней и алгеброй Хопфа SL(2). Наша первая задача состоит в построении гомоморфизма ф из алгебры М(2) = к[о, Ь, с, d] (введенной в параграфе 1.4) в двойственную алгебру U*. Из этого мы получим билинейную форму на U х M(2), заданную формулой (и, X) = ф(х)(и) и удовлетворяющую соотношениям (7.2) и (7.4). Построение ф эквивалентно предъявлению четырех попарно коммутирующих элементов А, В, С, D алгебры U*.