Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Глава 5. Алгебра JIu алгебры SL(2)
обеих частях имеют одинаковую размерность. Размерность пространства V(n + m) ф V(n + т - 2) ф ... ф V(n - т) равна
ТП
+ m - 2р + 1) = (n + l)(m + 1) =
= dim(V(n)) dim(V(m)) = = dim(V(n) ® V(m)).
Доказательство предложения 5.1 завершает следующая лемма. ?
Лемма 5.5.2. Пусть v — старший вектор модуля V(n), v' — старший вектор в V(m). Положим vp = ^Ypv, v'p = для р ^ 0. Тогда
В-1)——wi0v^
і-О v '
является старшим вектором в V(n) ® V(m) веса п + т — 2р.
Доказательство. Положим
/ , w (т — P + i)Un — NT^ I
^ = (-1)'1 (Lp)Inl ' " =
Нужно проверить, что Xw = 0 и Hw - (n + m — 2p)w. Последнее равенство выполняется, поскольку векторы Vi ® Up_г имеют вес п + т — 2р. Действительно, из леммы 4.3 мы имеем
Hivi ® v'p_i) = H(Vi) ® v'p_i + ViQ H(V^i) = (п + т- 2р)щ ® V1p^.
Вычислим Xw. Снова по лемме 4.3 имеем р р
Xw = Y ai Х (Vi) ® «Р-І + E ® =
і=0 г=0
P P
= Oi(n - г + 1) «<_1 ® + Y ai(m - P + * + 1) «і ® Vp-I-I =
i=0 г=0
P
= - г + 1) + ai-i(m -р + г)) Vi-I Qvp^i.
г=15.6. Действие sl(2) на аффинной плоскости
137
Далее,
oti(n-i + 1) + oti-i(m-p + i) =
= (-1) --,-j- n - і + 1) +
, л чj_i (m — p + i — l)!(n — г + 1)! .
+ (-1)1 ----^tt1-'-{m-p + % ) = 0. ?
(m-p)\n\
Замечание 5.5.3. (а) Из предложения 5.1 следует, что присоединенное представление V(2) связано с V(O) и V(I) соотношением
F(l)®2 ? V(2) Є Vr(O).
(б) Двойственный модуль V(n)* изоморфен простому модулю V(n) (докажите это). Следовательно, мы имеем [/-линейный изоморфизм
Hom(F(n), V(m)) ^ V{m) ® V{n)* ^ V(m) ® V{n).
5.6. Модульные алгебры над биалгеброй. Действие sl(2) на аффинной плоскости
Сейчас мы введем понятие, удачно формализующее ряд ситуаций действия одной алгебры на другой.
Определение 5.6.1. Пусть H — некоторая биалгебра и А — алгебра. Мы называем А модульной алгеброй над Н, если
(а) как векторное пространство А является //-модулем и
(б) умножение р,: А ® А —> А и отображение единицы г]: к —>¦ А являются морфизмами Я-модулей, где тензорное произведение a® ats. основное поле к наделены структурами //-модулей, задаваемыми формулами (3.5.2), (3.5.3).
В литературе модульные алгебры над биалгеброй H называются также H-алгебрами 10. Записывая явно условие (б) определения 6.1, получаем, что А является модульной алгеброй над Н, если действие H
10 Модульные алгебры над алгеброй Хопфа названы в [19] модулями Милнора. — Прим. перев.138
Глава 5. Алгебра JIu алгебры SL(2)
на А удовлетворяет следующим условиям согласованности с умножением и единицей в А:
где X — элемент Н, а а и Ь — элементы А. Здесь мы использовали обозначения Свидлера 3.1.6. Отображение є есть коединица биалгебры H, а 1 — единица алгебры А.
Соотношения (6.1) не всегда бывает легко проверить для всех элементов х є H. Следующее утверждение показывает, что это достаточно сделать лишь для некоторого семейства образующих.
Лемма 5.6.2. Пусть H — некоторая биалгебра, А — алгебра, наделенная структурой Н-модуля такого, что выполняется соотношение (6.2). Предположим, что H мультипликативно порождается подмножеством X, элементы которого удовлетворяют соотношению (6.1) при произвольных а,Ь из А. Тогда А является модульной алгеброй над H.
Доказательство. Достаточно проверить, что если равенство (6.1) выполняется для х и у из H, то оно верно также для произведения ху. Но действительно, для всех а,Ь є А мы имеем
(6.1)
и
х\ = є(х)1,
(6.2)
(.xy)(ab) = X (у (ab)) =
= *Qr>'«)(!/'«) =
(у)
= y (х'(у'(а)))(х"(у"(Ь)))
= ? ((х'у')а)((х"у")Ь) =
?
5.6. Действие sl(2) на аффинной плоскости
139
Примеры далее демонстрируют, что структуры модульных алгебр возникают в ряде ситуаций.
пример 1. Пусть <р — автоморфизм алгебры А. Рассмотрим групповую алгебру k[Z] группы целых чисел, снабженную структурой биалгебры, как описано в примере 2 из параграфа 3.2. Зададим действие k[Z] на А, при котором образующей группы Z соответствует <р, тогда А становится модульной алгеброй над k[Z],
Опишем модульные алгебры над обертывающими алгебрами.
Лемма 5.6.3. Пусть L — некоторая алгебра JIu. Алгебра А является модульной алгеброй над U(L) тогда и только тогда, когда А имеет структуру L-модуля такую, что элементы L действуют на А дифференцированием.
Доказательство. Из параграфа 2 мы знаем, что U(L)-модуль является L-модулем и обратно. Предположим, что А является модульной алгеброй над U(L). Если х Є L, мы имеем А(х) = х®1 + 1(8>х. Для такого элемента X условие (6.1) при всех а,Ь Є А превращается в следующее условие:
x(ab) = x(a)b + ах(Ь),
которое означает, что х действует как дифференцирование. Обратное утверждение получается из леммы 6.2.
Теперь мы вернемся к алгебре Ли s((2) и покажем, как аффинная плоскость превращается в модульную алгебру над обертывающей алгеброй U(.el(2)).
Теорема 5.6.4. Зададим действие алгебры JIu sl(2) на алгебре многочленов к [ж, у] формулами
xQy, Yf Удх, Hf Xdx Уду,
где P обозначает произвольный многочлен из к[х,у].