Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кассель К. -> "Квантовые группы" -> 46

Квантовые группы - Кассель К.

Кассель К. Квантовые группы — Фазис, 1999. — 698 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantoviegruppi1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 199 >> Следующая


Глава 5. Алгебра JIu алгебры SL(2)

обеих частях имеют одинаковую размерность. Размерность пространства V(n + m) ф V(n + т - 2) ф ... ф V(n - т) равна

ТП

+ m - 2р + 1) = (n + l)(m + 1) =

= dim(V(n)) dim(V(m)) = = dim(V(n) ® V(m)).

Доказательство предложения 5.1 завершает следующая лемма. ?

Лемма 5.5.2. Пусть v — старший вектор модуля V(n), v' — старший вектор в V(m). Положим vp = ^Ypv, v'p = для р ^ 0. Тогда

В-1)——wi0v^

і-О v '

является старшим вектором в V(n) ® V(m) веса п + т — 2р.

Доказательство. Положим

/ , w (т — P + i)Un — NT^ I

^ = (-1)'1 (Lp)Inl ' " =

Нужно проверить, что Xw = 0 и Hw - (n + m — 2p)w. Последнее равенство выполняется, поскольку векторы Vi ® Up_г имеют вес п + т — 2р. Действительно, из леммы 4.3 мы имеем

Hivi ® v'p_i) = H(Vi) ® v'p_i + ViQ H(V^i) = (п + т- 2р)щ ® V1p^.

Вычислим Xw. Снова по лемме 4.3 имеем р р

Xw = Y ai Х (Vi) ® «Р-І + E ® =

і=0 г=0

P P

= Oi(n - г + 1) «<_1 ® + Y ai(m - P + * + 1) «і ® Vp-I-I =

i=0 г=0

P

= - г + 1) + ai-i(m -р + г)) Vi-I Qvp^i.

г=1 5.6. Действие sl(2) на аффинной плоскости

137

Далее,

oti(n-i + 1) + oti-i(m-p + i) =

= (-1) --,-j- n - і + 1) +

, л чj_i (m — p + i — l)!(n — г + 1)! .

+ (-1)1 ----^tt1-'-{m-p + % ) = 0. ?

(m-p)\n\

Замечание 5.5.3. (а) Из предложения 5.1 следует, что присоединенное представление V(2) связано с V(O) и V(I) соотношением

F(l)®2 ? V(2) Є Vr(O).

(б) Двойственный модуль V(n)* изоморфен простому модулю V(n) (докажите это). Следовательно, мы имеем [/-линейный изоморфизм

Hom(F(n), V(m)) ^ V{m) ® V{n)* ^ V(m) ® V{n).

5.6. Модульные алгебры над биалгеброй. Действие sl(2) на аффинной плоскости

Сейчас мы введем понятие, удачно формализующее ряд ситуаций действия одной алгебры на другой.

Определение 5.6.1. Пусть H — некоторая биалгебра и А — алгебра. Мы называем А модульной алгеброй над Н, если

(а) как векторное пространство А является //-модулем и

(б) умножение р,: А ® А —> А и отображение единицы г]: к —>¦ А являются морфизмами Я-модулей, где тензорное произведение a® ats. основное поле к наделены структурами //-модулей, задаваемыми формулами (3.5.2), (3.5.3).

В литературе модульные алгебры над биалгеброй H называются также H-алгебрами 10. Записывая явно условие (б) определения 6.1, получаем, что А является модульной алгеброй над Н, если действие H

10 Модульные алгебры над алгеброй Хопфа названы в [19] модулями Милнора. — Прим. перев. 138

Глава 5. Алгебра JIu алгебры SL(2)

на А удовлетворяет следующим условиям согласованности с умножением и единицей в А:

где X — элемент Н, а а и Ь — элементы А. Здесь мы использовали обозначения Свидлера 3.1.6. Отображение є есть коединица биалгебры H, а 1 — единица алгебры А.

Соотношения (6.1) не всегда бывает легко проверить для всех элементов х є H. Следующее утверждение показывает, что это достаточно сделать лишь для некоторого семейства образующих.

Лемма 5.6.2. Пусть H — некоторая биалгебра, А — алгебра, наделенная структурой Н-модуля такого, что выполняется соотношение (6.2). Предположим, что H мультипликативно порождается подмножеством X, элементы которого удовлетворяют соотношению (6.1) при произвольных а,Ь из А. Тогда А является модульной алгеброй над H.

Доказательство. Достаточно проверить, что если равенство (6.1) выполняется для х и у из H, то оно верно также для произведения ху. Но действительно, для всех а,Ь є А мы имеем

(6.1)

и

х\ = є(х)1,

(6.2)

(.xy)(ab) = X (у (ab)) =

= *Qr>'«)(!/'«) =

(у)

= y (х'(у'(а)))(х"(у"(Ь)))



= ? ((х'у')а)((х"у")Ь) =



?

5.6. Действие sl(2) на аффинной плоскости

139

Примеры далее демонстрируют, что структуры модульных алгебр возникают в ряде ситуаций.

пример 1. Пусть <р — автоморфизм алгебры А. Рассмотрим групповую алгебру k[Z] группы целых чисел, снабженную структурой биалгебры, как описано в примере 2 из параграфа 3.2. Зададим действие k[Z] на А, при котором образующей группы Z соответствует <р, тогда А становится модульной алгеброй над k[Z],

Опишем модульные алгебры над обертывающими алгебрами.

Лемма 5.6.3. Пусть L — некоторая алгебра JIu. Алгебра А является модульной алгеброй над U(L) тогда и только тогда, когда А имеет структуру L-модуля такую, что элементы L действуют на А дифференцированием.

Доказательство. Из параграфа 2 мы знаем, что U(L)-модуль является L-модулем и обратно. Предположим, что А является модульной алгеброй над U(L). Если х Є L, мы имеем А(х) = х®1 + 1(8>х. Для такого элемента X условие (6.1) при всех а,Ь Є А превращается в следующее условие:

x(ab) = x(a)b + ах(Ь),

которое означает, что х действует как дифференцирование. Обратное утверждение получается из леммы 6.2.

Теперь мы вернемся к алгебре Ли s((2) и покажем, как аффинная плоскость превращается в модульную алгебру над обертывающей алгеброй U(.el(2)).

Теорема 5.6.4. Зададим действие алгебры JIu sl(2) на алгебре многочленов к [ж, у] формулами

xQy, Yf Удх, Hf Xdx Уду,

где P обозначает произвольный многочлен из к[х,у].
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed