Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кассель К. -> "Квантовые группы" -> 45

Квантовые группы - Кассель К.

Кассель К. Квантовые группы — Фазис, 1999. — 698 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantoviegruppi1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 199 >> Следующая


H2 п2 п(п + 2)

Cv = XYv + YXv + —V = nv + —v = -і——- v. ?

В заключение мы покажем, что любой конечномерный {/-модуль является прямой суммой простых {/-модулей.

Теорема 5.4.6. Любой конечномерный U-модулъ полупрост.

Доказательство. Согласно предложению 1.1.2 достаточно показать, что для любого конечномерного {/-модуля V и любого его подмодуля V' существует другой подмодуль V" такой, что V изоморфен прямой сумме V' ® V". Положим L = s[(2).

1. Сначала докажем существование такого подмодуля V" в случае, когда V' имеет коразмерность 1 в 7. Мы будем делать это индукцией по размерности V1.

Если dim(F') = 0, то можно взять V" = V. Если dim(F') = 1, то Vf и VjV' неизбежно являются тривиальными одномерными модулями. Следовательно, в V существует базис {г>і є V',^} такой, что Lvі = О и Lv2 С V' = кг>і. Далее, мы имеем [L,L]vi = 0 для г = 1,2. Из формул (3.2) следует, что действие L на V тривиально. Таким образом, мы можем взять в качестве V" любое дополнительное к V' подпространство V.

Предположим теперь, что dim(F') =р > 1, и утверждение, которое мы хотим доказать, верно для всех размерностей < р. Возможны два взаимоисключающих случая: модуль V' прост или не прост.

1а. Сначала предположим, что модуль V' не простой; тогда в V' существует подмодуль Vi такой, что 0 < dim(Vi) < dim(F') = р. Пусть 134

Глава 5. Алгебра JIu алгебры SL(2)

тс — каноническая проекция V на V = VjV\. Модуль V7 = 7г(V) является подмодулем в F коразмерности один, и его размерность < р. Это позволяет применить предположение индукции и найти подмодуль V" модуля V такой, что V = V' ® V". Поднимая этот изоморфизм в V. получаем

V = V' + Tt-1Cv71).

Теперь, поскольку dim(V') = 1, векторное пространство V\ является подмодулем коразмерности один в 7T_1(V). Мы снова применяем предположение индукции, чтобы найти подмодуль V" модуля 7г~' ( V") такой, что tc~1(V") = V\ ® V". Докажем, что одномерный подмодуль V" обладает нужными свойствами, то есть V = V' ® V". Действительно, сказанное выше означает, что V = V' + V\ + V"; далее, V\ содержится в Vоткуда V является суммой V' и V". Из формулы dim(F) = dim(F') + dim(V") следует, что эта сумма прямая.

16. Если подмодуль V' простой и имеет размерность > 1, то из леммы 4.5 следует, что элемент Казимира С действует на V' как умножение на скаляр а ф 0. Отсюда оператор Cj а действует как тождественный на V'. Далее, модуль VjV' одномерен, а значит, является тривиальным. Следовательно, С отправляет V в подмодуль Vі, то есть отображение С/а является проекцией пространства V на V'. Так как Cja коммутирует со всеми элементами [/, отображение Cja является гомоморфизмом [/-модулей. Согласно предложению 1.1.2 подмодуль V" = Кег(С/а) является дополнительным к подмодулю V'.

2. Общий случай. Теперь мы имеем два конечномерных модуля V'cV без каких-либо ограничений на коразмерность. Мы сведем эту ситуацию к случаю коразмерности один, рассматривая линейные пространства W' С W, определенные следующим образом: W (соответственно W') есть подпространство всех линейных отображений из V в Vі, ограничение которых на V' является гомотетией (соответственно нулевое). Очевидно, что W' имеет коразмерность один в W. Чтобы свести к случаю 1, мы должны задать на W и W' структуры [/-модулей. Мы снабжаем Hom(V, Vі) структурой U-модуля, определенной формулой (2.4). Проверим, что W и W' являются [/-подмодулями. Для / Є W пусть а — число такое, что f(v) = av для всех v Є Vі; тогда для любого X Є L и V Є V мы имеем

(xf)(v) = X f(v) — f(xv) = x(av) — a(xv) = 0. 5.5. Формула Клебша-Гордана

135

Аналогично показывается, что W' есть подмодуль. Применяя первую часть доказательства, получаем одномерный подмодуль W" такой, что W = W' ® W". Пусть / — образующая W". По определению, / действует на V' как умножение на скаляр а ф 0. Следовательно, //а есть проектор пространства V на V'. Для завершения доказательства достаточно проверить, что / (а значит, и //а) является морфизмом модулей. Но действительно, подмодуль W", будучи одномерным, тривиален. Следовательно, мы имеем xf = 0 для всех х Є L, что согласно (2.4) превращается в xf(v) — f{xv) = 0 для всех v Є V. ?

5.5. Формула Клебша-Гордана

Для двух данных конечномерных [/-модулей рассмотрим их тензорное произведение, снабженное структурой модуля по формуле (2.3). По теореме 4.6 полученный модуль может быть разложен в сумму простых. Из дистрибутивности тензорного произведения по отношению к прямой сумме и теорем 4.4 и 4.6 для этого достаточно разложить в сумму простых модуль V(n) (g> V(rri). Это разложение, называемое формулой Клебша-Гордана, представлено в следующем утверждении.

Предложение 5.5.1. Рассмотрим два неотрицательных целых числа п ^ т. Тогда имеет место изоморфизм U-модулей

V(n)®V{m) = V{n + т) ®V{n + т -2) ® ... ®V{n - т+ 2) ®V(n - т).

Доказательство. Достаточно проверить, что для всех р, 0 ^ р ^ т, модуль V(n) ® V(m) содержит старший вектор веса п + т — 2р. Если это так, то тогда существует нетривиальный морфизм из модуля V(n + т — 2р) в V(n) (g> V(m). Так как модуль V(n + т — 2р) простой, ядро такого морфизма обязано быть нулевым, откуда этот морфизм является вложением V{n + т — 2р) в V(n) ® V(m). Подмодули V(n+m — 2р), будучи простыми модулями с разными старшими весами, образуют прямую сумму в V(n) (g> V(m). Таким образом, правая часть формулы Клебша-Гордана как [/-модуль вложена в левую часть. Для завершения доказательства достаточно проверить, что пространства в 136
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed