Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Определение 3.6.1. Пусть (С, А, є) — некоторая коалгебра.
(а) С-комодулем называется пара (N, Ддг), где N — векторное пространство, аДдг: N —> С ® N — линейное отображение, называемое кодейстпвием коалгебры С на N, такие, что удовлетворены следующие аксиомы (Coass) и (Coun): (Coass): Квадрат
N
an
an
С® N
id® an
(6.4)
C®N С ®С ® N
коммутативен. 80
Глава 3. Язык алгебр Хопфа
(Coun): Диаграмма
к<8JV *
С <8 JV
An
(6.5)
JV
коммутативна.
(б) Пусть (JVjAjv) и (JV1Ajv) — Два С-комодуля. Линейное отображение / из JV в JV' называется морфизмом С-комодулей, если
(в) Подпространство JV' некоторого С-комодуля (JV, Ajv) называется подкомодулем, если Ajv(JV') С С® JV'.
В действительности, комодули, которые мы только что определили, являются левыми комодулями. Аналогично можно определить правый С-комодуль JV, используя отображение JV —> JV <8 С, подчиненное соотношениям, подобным (6.4), (6.5). Правый С-комодуль есть то же самое, что (левый) комодуль над противоположной коалгеброй Ccop.
Композиция двух морфизмов комодулей также является морфизмом комодулей. Подобным образом включение подкомодуля — тоже мор-физм комодулей. Приведем несколько примеров комодулей.
ПРИМЕР 1. Пусть С — коалгебра. Тогда (С, А) есть С-комодуль.
Пример 2. Пусть С — некоторая коалгебра, С* — двойственное векторное пространство, снабженное структурой алгебры, дуальной к С, как в предложении 1.2. Если (JV1Ajv) — С-комодуль, то двойственное пространство JV* имеет структуру С*-модуля, задаваемую композицией отображений
(id <8 /) о Ддг = An> о /.
(6.6)
С* <8 JV* Tc',Af< ) JV* (8 С
'* (С <8 JV)* JV*.
(6.7)
Пример 3. Пусть А — конечномерная алгебра, и А* — двойственное линейное пространство, снабженное структурой коалгебры как в предложении 1.3. Если (М,рм) — А-модуль, то дуальное векторное 3.6. Комодули
81
пространство М* имеет структуру А*-комодуля, определяемую композицией отображений
М* {A® M)* М* <8 А* Тм''А' > А* <8 М*. (6.8)
Чтобы определить структуру комодуля на тензорном произведении двух комодулей, нам понадобится структура биалгебры, как и в параграфе 5.
ПРИМЕР 4. (Тензорное произведение комодулей.) Пусть (Я, (і, т], А, є) — некоторая биалгебра, M и iV — Я-комодули. Определим Am®n по формуле
= {? <8 idA/(g>Ar)(idH ® тм,н <8 idAr)(AM (8 Ajv)- (6.9)
Отображение Am®n задает на тензорном произведении M <8 N структуру H-комодуля.
ПРИМЕР 5. (Тривиальный комодуль.) Пусть (Я, /х, г?, А, є) — биалгебра, F — некоторое линейное пространство. Линейное отображение
"®idv > Я (8 F (6.10)
определяет на F структуру Я-комодуля. Такой комодуль называется тривиальным.
Пример 6. (Свободный комодуль.) Пусть (С, А, є) — некоторая коалгебра. Свободным С-комодулем, ассоциированным с пространством V, называется комодуль (С <8 V, А <8 idy). Это определение является обобщением примера 1.
Предложение 5.1 имеет следующий аналог для комодулей. Доказательство оставляется читателю.
Предложение 3.6.2. Если H — биалгебра, M, N, P — Н-комодули и к наделено структурой тривиального H-комодуля, как в примере 5, то канонические изоморфизмы из предложения 2.1.3
(Af <S>N)<S> P = M ®{N®P) и k®M = M = M<3)k 82
Глава 3. Язык алгебр Хопфа
являются изоморфизмами H-комодулей. Если вдобавок биалгебра H коммутативна, то переставляющее отображение tm,n '• M ® N = = N <8> M также есть изоморфизм Н-комодулей.
Обозначение 3.6.3. Часто бывает удобно использовать для комодулей обозначения, подобные тем, которые были введены для коалгебр в параграфе 1. Пусть (С, А, є) — коалгебра, a (N,Aдг) — С-комодуль. Договоримся писать
an{x) = Y2xc®xn (6-11)
(X)
для произвольного X ? N. Соотношение (6.4) равносильно
Y^(xC)' ® (хс)" ® xN = YlxC ® (xN)c ® {xN)N (6.12)
(х) (х)
для всех X Є N. Коммутативность диаграммы (6.5) эквивалентна
фс) ® XN = х. (6.13)
(x)
Линейное отображение / : N —> N' есть морфизм С-комодулей, если
Ylxc®f(xN) = Yl f(x)c®f(x)N>. (6.14)
(x) u(X))
3.7. Комодульные алгебры. Кодействие SL(2) на аффинной плоскости
Цель этого параграфа — определить кодействие биалгебры SL(2) на аффинной плоскости, введенной в главе 1. Перед тем, как это сделать, мы введем следующее понятие.
Определение 3.7.1. Пусть (Я,/ія>ї?я> Дя>?я) — некоторая биалгебра, а (А, р,д, Т]д) — алгебра. Скажем, что А является Н-комодульной алгеброй, если
(а) как векторное пространство А наделена структурой Я-комоду-ля, заданной отображением Ад : А H ® А, и 3.7. Комодульные алгебры. Кодействие SL(2) на аффинной плоскости 83
(б) структурные отображения А ® А —> А и г]а: к А являются морфизмами Я-комодулей, где тензорное произведение A® A vi основное поле к снабжены структурами Я-комодулей, как объяснялось в параграфе 6.
Мы отметим следующую полезную характеристику структуры ко-модульной алгебры.
Предложение 3.7.2. Пусть H — некоторая биалгебра, А — алгебра. Тогда А является комодульной алгеброй, если и только если
(а) векторное пространство А имеет структуру H-комодуля, заданную отображением Дд : А H ® А, и
