Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство очевидно и оставляется читателю. ? 3.5. Модули над алгебрами Хопфа
75
Теперь мы продемонстрируем, как антипод позволяет задать естественную структуру А-модуля на векторном пространстве Horn (У, V) линейных отображений из V в Vі, когда V и V' имеют структуры А-модулей. Сначала мы заметим, что формула
((a®a')f)(v) = af(a'v) (5.4)
задает на Нош(У, V) структуру А ® Аор-модуля. Действительно, мы имеем
((а <8 а') (Ь ® b')f) (v) = ((ab ® b'a')f) (v) = = abfib'av) = = a({b®b')f){a'v) = = {(a®a')((b®b')f))(v)
для всех а, a', b, b' Є A, v Є V, f Є Нош(У, V). Далее, если А — алгебра Хопфа с антиподом 5, то отображение (id ® 5) о Д из алгебры А в А ® Aop является гомоморфизмом. Взяв композицию этого гомоморфизма и действия (5.4), получаем структуру А-модуля на Нош(У, V). Явным образом действие А на Нош(У, V) задается формулой
(а/)(«) = $>'/№», (5.5)
(а)
где а Є А, V Є V, / Є Hom(F, V').
В частности, если V' = к со структурой тривиального А-модуля, то формула (5.5) задает структуру А-модуля на двойственном линейном пространстве V*, которая теперь имеет вид
(af){v) = f(S(a)v). (5.6)
Действительно, из (5.5) и (1.21) мы получаем
(af)(v) = J>(a')/№» = /(s(j>(aV')«) = f(S(a)v).
(a) (a)
Предложение 3.5.2. Пусть {А, р,,г), А,є, S) — алгебра Хопфа, a U, U', VuV' — А-модули такие, что хотя бы один из U, U' и хотя бы один из V, V' конечномерны. Тогда линейное отображение (2.2.2)
Л : Нот (С/, U') ® Hom(F, V') Eom(V ®U,U' ® V) 76
Глава 3. Язык алгебр Хопфа
А-линейно при условии, что переставляющее отображение туу '¦ U* ® V' V' ® U* А-линейно. В частности, отображения
A: U* ® F* {V ® С/)* и Аа,у: F ® С/* Нот([/, F)
А-линейны.
Доказательство, (а) Пусть f: U U', д: V ^y V', и є U, v є V и а Є А Вычислим А(а(/ ® <?)), используя формулы (2.2.2), (5.2) и (5.5). Мы имеем в сигма-обозначениях Свидлера
Zi = {\{a{f®g))){v®u) =
= Y Ha'/ ® ow5)(v (8) и) = (а)
= 5>7)(ц) в («"(/)(«) =
(а)
= Х>')7(5((а')» ® (а") W((a")>) =
(а)
= J2a'f(S(a")u) ®a"'g(S(a"")v).
(а)
С другой стороны, аА(/ ® д) определяется равенствами
Z2 = (aX(f ® д)) (v ® и) =
= ®9)(S(a")(v® и)) =
(а)
= Y a'XU ® 9)(S(a")'v ® S(a")"u) =
(а)
= (?((»")> ® 5((а")')«) =
(а)
= Ya'Л(/ ® 5)№"> ® 5(о")и) =
(а) (а) 3.5. Модули над алгебрами Хопфа
77
= J>')7№» ® (a')"9(S(a'")v) =
(а)
= J2a'f(S(a">) ® a"g(S{a"")v).
(а)
В четвертом переходе мы использовали (3.6). Заметим, что, вообще говоря, Zi ф Z2.
(б) Пусть на V' = к задано тривиальное действие. Заменяя а"' в Zi (соответственно а" в Z2) на є(а'") (соответственно на є (а")) и используя (1.21), мы получаем
Z1 = Z2 = ?07(5(0» 2>g(S(a'")v).
(а)
Это доказывает, что отображение Л: Нот([/, U')®V* —> Hom(F®C/, U') является А-линейным. Два специальных случая предложения 5.2 мы получаем теперь, полагая U' = к и U = к.
В общем случае мы воспользуемся леммой 2.2.4, которая выражает Л через специальные Л и переставляющее отображение тц-у- ?
Как следствие предложения 5.2, мы видим, что общее отображение Л из теоремы 2.2.1 А-линейно, если А кокоммутативна. Это верно, например, в случае групповой или обертывающей алгебры А.
Что касается отображений вычисления и ковычисления, мы имеем следующее утверждение.
Предложение 3.5.3. Пусть V — некоторый А-модуль. Тогда отображение вычисления evy : V* <8 V к является А-линейным. Если, кроме того, пространство V конечномерно, то отображение ковычисления Sy '¦ к —> V <8 V*, определенное в параграфе 2.3, и операция композиции
Hom(F, W) (8 Hom(J/, V) Hom(E/,W)
также А-линейны. 78
Глава 3. Язык алгебр Хопфа
Доказательство, (а) Пусть а є A, v є F и а є V*. Тогда
evy(a(a <8 v)) = ^evy(a'a <8 a"u) = (о)
= $>'а)(а"«) =
(a)
= aQ?S(a')a"«) =
(a)
= a(e(a)v) - e(a)a(v)
согласно правому из соотношений (3.3) и формуле (5.6). Отсюда следует, что отображение вычисления Л-линейно.
(б) Отображение ковычисления Sv является ^4-линейным будучи композицией отображения единицы г}: к —> End(F) и Xy1y. Последнее является ^4-линейным по предложению 5.2. Отображение г}: к —>• End(F) также А-линейно:
(a»7(l))(«) = (oidv)(«) =
= ^a'idv№» =
(a) (a)
= є(а)и = = (r?(ol))(u)
для всех и Є F, а Є А. Здесь мы использовали первое из равенств (3.3).
(в) Для операции композиции надо применить лемму 2.2.5. ?
3.6. Комо дули
Алгебры действуют на модулях, а коалгебры кодействуют на комо-дулях. Этот параграф посвящен определению кодействия и дальнейшим понятиям. Пусть А — некоторая алгебра. Напомним, что А-мо-дулем называется пара (М, ^м), где M — векторное пространство, а 3.6. Комодули
79
Им \ A® M M — линейное отображение такие, что выполнены аксиомы (Ass) и (Un). (Ass): Квадрат
A® A® M А®М
дм M
(6.1)
коммутативен.
(Un): Диаграмма
k®М -2? А®М
(6.2)
коммутативна.
Морфизм А-модулей /: (М,им) —> (М',ИМ') — эт0 линейное отображение / из M в M' такое, что
Им' о (id <S» /) = / о им-
(6.3)
Определение комодуля над коалгеброй получается обращением всех стрелок в этих диаграммах.
