Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
JV S(x") = ф)1 = Yl S{x')x"
(х) (x)
для всех х Є X. Тогда S является антиподом в Н.
Доказательство. Достаточно проверить, что если соотношения (3.3) выполняются для а; и у, то они верны также для произведения ху. Из (3.3), (3.4) имеем
Ylixy)'S((xy)") = Yl x'y'S(x"y") =
(ху) (х)(у)
(X) (у)
= (5>5(s"))e(v) =
(x)
= фи у) = = фу)-
Аналогично доказывается, что J2(xy) $((хуУ)(ху)" = Фу)- q
Используя последнюю лемму, покажите, что следующие алгебры являются примерами алгебр Хопфа.
Пример 3. Тензорная алгебра H = T(V) является алгеброй Хопфа с антиподом, заданным формулами 5(1) = 1 и
S(VXV2 ...Vn) = (~1)%„ . . . V2Vi
для всех V\,V2, ¦ ¦ ¦ ,Vn Є V. 72
Глава 3. Язык алгебр Хопфа
пример 4. (Симметрическая биалгебра S(V).) Пусть I — ядро проекции T(V) на симметрическую алгебру 5(F). Покажем, что I является коидеалом для структуры коалгебры определенной на T(F) в теореме 2.4. Любой элемент в I есть сумма элементов вида x[v, w]y, где 1,1/6 T(V), v,w Є F. Из теоремы 2.4 мы имеем равенство
Д(я[и, w]y) = (1V Иу' ® + х'у' ® а:"[и, го]у"), (*)(»)
правая часть которого принадлежит I ® T(F) + T(F) ® /, и
ф[гі,го]у) = ф)[ф),ф)]ф) = О,
откуда видно, что I — коидеал. Отсюда следует, что структура биалгебры на T(F) индуцирует структуру биалгебры на 5(F), для которой элементы пространства F являются примитивными. Можно проверить, что 5(F) имеет антипод, действующий как умножение на (—1)" в Sn(V).
Другим важным понятием является понятие группового элемента коалгебры, то есть элемента х Ф 0 такого, что
Д(:г)=:г®:г. (3.8)
Множество групповых элементов в H обозначается далее через Q(H).
Предложение 3.3.7. Пусть H — некоторая биалгебра. Тогда Q(H) является моноидом относительно операции умножения, заимствованной из H, и единицей 1. Если, кроме того, H имеет обратимый антипод, то любой групповой элемент х имеет обратный в Q(H), равный S(x), и, таким образом, Q(H) является группой.
Доказательство. Первое утверждение очевидно. Что касается второго, заметим, что равенства (3.6) и (3.8) влекут A(S(x)) = ад®ад. Отсюда следует, что S(x) принадлежит Q(H). Доказательство завершают проверка, что є(х) = 1 для группового элемента х, и вычисление из примера 2, показывающее, что S(x) — обратный элемент к х. ?
Пример 5. Если k[G] — групповая алгебра Хопфа, определенная как в примере 2, то элементы G исчерпывают множество групповых элементов k[Gf]. Другими словами, мы имеем
?(k[G]) = G. (3.9) 3.4. Взаимосвязь с первой главой. Алгебры Хопфа GL(2) и SL(2)
73
3.4. Взаимосвязь с первой главой. Алгебры Хопфа
Цель этого параграфа — показать, что алгебры М(2), GL(2) и SL(2), определенные в параграфах 1.4 и 1.5, являются биалгебра-ми. Мы используем предложение 2.4.2, чтобы отождествить М(2)®2
и М(2) ® М(2), GL(2)®2 и GL(2) ® GL(2), 5L(2)®2 и 5L(2) ® 5L(2).
Покажем, что гомоморфизмы Д из параграфа 1.4 и є из параграфа 1.5 порождают на этих алгебрах структуру кокоммутативной биалгебры. Напомним, что согласно (2.4.4) мы имеем
и A(t) = t ® і. Для доказательства коассоциативности Д достаточно проверить ее на образующих а, Ь, с, d и t, для чего заметим, что t есть групповой элемент и имеет место матричное равенство
Аналогично, аксиома коединицы следует из e(t) = 1 и матричных равенств
Гомоморфизм алгебр 5, определенный формулой (1.5.2), является антиподом для биалгебр GL(tI) и SL(2), которые, таким образом, становятся алгебрами Хопфа. Действительно, согласно лемме 3.6 достаточно проверить соотношения (3.3) на образующих а, 6, с, d, t. Для а, 6, с, d эти равенства следуют из
GL(2) и SL(2)
(4.1)
(4.2)
(
а Ь с d
S (a) S(b) 5(c) S(d)
S(a) S(b) 5(c) 5(d)
a b
с d 74
Глава 3. Язык алгебр Хопфа
Для образующей t мы имеем tS(t) = S(t)t = e(t) = 1, так как S(t) = t~l = ad- be.
Этот антипод является инволюцией, поскольку алгебры GL(2) и SL(2) коммутативны. Это можно также проверить напрямую для формулы (1.5.2), определяющей S.
3.5. Модули над алгебрами Хопфа
Пусть А — некоторая алгебра. Тензорное произведение U <8> V двух .А-модулей является А <8> УІ-модулем, если положить
(а <8> а')(и <8> и) = аи <g> a'v, (5.1)
где а, а' Є А, и Є U, V Є V. Далее, если А обладает структурой биалгебры (А, /і, г], Д, е), то гомоморфизм Д позволяет снабдить А ® Л-модуль U <8> V структурой Л-модуля следующим образом:
а(и <8> v) = Д(а)(и <8> v) = ^ а'и ® а V (5.2)
(а)
Коединица е задает на произвольном векторном пространстве V структуру тривиального .А-модуля по формуле
av = e(a)u, (5.3)
где а Є .А, и Є F.
Следующее утверждение является естественным обобщением предложения 2.1.3 на случай Л-модулей.
Предложение 3.5.1. Если А — некоторая биалгебра, U, V и W — А-модули и на к задана структура тривиального А-модуля, то канонические изоморфизмы из предложения 2.1.3
(U ®V)®W ^U®(V®W) и k<g>F = F = F<gik
являются изоморфизмами А-модулей. Если, более того, биалгебра А кокоммутативна, то переставляющее отображение T\r,w : V ®W = = W®V есть изоморфизм А-модулей.
