Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кассель К. -> "Квантовые группы" -> 27

Квантовые группы - Кассель К.

Кассель К. Квантовые группы — Фазис, 1999. — 698 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantoviegruppi1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 199 >> Следующая

= ]Г <*'(х')а" (Sxn) = (qHx)

= aQTV(Ss")) =

(X)

= а(г/є(х)) = = e*V*(a)(x).

Аналогично доказывается, что J2(a) S*(a')a" = є*г}*(а). ?

Пример 2. Пусть G — некоторый моноид, k[G] — биалгебра, введенная в примере 2 параграфа 2. Тогда k[G] имеет антипод тогда и только тогда, когда любой элемент і из G имеет обратный, то есть когда G является группой.

Действительно, если S существует, по определению отображения Д мы должны иметь

xS(x) = S(x)x = є(х)1 = 1

для всех X Є G. Это означает, что S(xJ = x~l для х Є G. Мы приведем несколько важных свойств антипода.

Теорема 3.3.4. Пусть (H,fj,,r),A,e,S) — алгебра Хопфа.

(а) Тогда S есть гомоморфизм из биалгебры H в Hopcop, то есть мы имеем

S(Xy) = S(V)S(X)1 S(I) = I (3.4) 3.3. Алгебры Хопфа

67

для всех х,у Є H и

(S ® 5)А = Дор5, є о S = е. (3.5)

(б) Следующие три утверждения равносильны:

(i) имеет место равенство S2 = іd#,

(ii) <?лл всех X Є H выполняется ]С(х) S(x")x' = є(х)1,

(iii) для всех X Є H выполняется Yl(x)x"^(x>) = ^(^)1-

(в) Если H коммутативна или кокоммутативна, то S2 = id#.

Заметим, что первое из равенств (3.5) можно переписать в обозначениях Свидлера 1.6 следующим образом:

]Г S(x)' ® S(x)" = ^2s(x") ® S(x'). (3.6)

(S(x)) (х)

Доказательство, (а) Начнем с утверждения (3.4). Определим отображения v,p Є Нот (Я <g> Н, Н) по формуле

и(х®у) = S(y)S(x) и р(х®у) = S(xy),

где х,у Є Н. Мы должны показать, что р = и. Для этого достаточно убедиться в том, что p*/i = р.* и = г)(є ® є). Из (2.1), (3.2) и (3.3) получаем

(р*р)(х®у) = Yl р((х ® У)') v((x ® У)") =

(х®у)

= Y2 ріх' ® у Жх" ® у") = («)(»)

= ^ S(x'y')x"y" =

(X)(V) (ху)

= лфу)- 68

Глава 3. Язык алгебр Хопфа

С другой стороны, мы имеем

(ц*и)(х®у)= Y ® у)') v((x ® у)") =

(х®3/)

= J] x'y'S(y")S(x") =

(Х)(У)

= E^(Ewi)ls{x") ^

OO (у) = Yx'e(y)S(x") =

(х)

= т]е{х)т]є{у) = = m{xy),

что совпадает с предыдущим.

Применяя равенство (id* S)(х) = щ(х) к случаю х = 1, получаем 5(1) = 1. Это завершает доказательство (3.4).

Докажем равенства (3.5). Первое из них равносильно До S = = (S ® S) о Д°р. Положим P = AoShu = (5® 5) о Д°р. Это — линейные отображения из H в H ® H. Мы хотим показать, что р = и. Это будет следовать из равенства p*A = A*v = (r)®г))є, которое мы сейчас докажем. С одной стороны, из (3.2) и (3.3) получаем

(р*А)(х) = ]Т Д (S(x'))A(x") = AQTs(SV) =

(х) (X)

= Ь(лФ)) = ((ri®v)e)(x)

для всех X є H. С другой стороны, мы имеем

(Д * и)(х) = Y A(Xt)((S ® S)(A°P(x"))) =

(х)

= Y,{x'®x")(Six"")®S{x"')) =

(х)

= 5>'S(x"")<8>z,'S(*w) =

(X) (X) 3.3. Алгебры Хопфа

69

= ^УФ^ю ® і =

(х)

= ^XlS(Xll)Ql =

(X)

= ф)1 <8 1 = = (*7®»?)(Ф))-

Четвертое и седьмое равенства следуют из (3.3), шестое — из (1.21). Мы также получаем из (1.21)

e(S(x)) = OrV')) = є(?ф'№")) = S(T)S(X)) = ф),

(х) (S)

что завершает доказательство соотношений (3.5).

(б) Покажем, что (ii) влечет (і). Из единственности обратного элемента достаточно доказать, что в этом случае S2 есть правый обратный к S для операции свертки, так же как и id#- Используя (3.4) и условие (ii), получаем, что для всех X Є H

(S*S2)(x) = ^S(X1)S2(Xlt) = s(J2S(x")x') =

(X) (X)

= S(s(x)l) =e(x)S(l) =Ф)1.

Это означает, что S * S2 = г)є, а следовательно, S2 = id#- Докажем в обратную сторону: пусть S2 = id#, тогда

(х) (X)

= s(]Ts(z')sV')) =

(X)

= s(?s(*v) =

(X)

=S(E(I)I)= = ф)1.

Равносильность утверждений (і) и (iii) доказывается аналогично. 70

Глава 3. Язык алгебр Хопфа

(в) Напомним соотношения (3.3): мы имеем

Yx's(-к") = ve(x) = YS(X">X"

(x) (X)

для всех X Є Я. Если H коммутативна, то первое равенство превращается в следующее:

Y S(x'V = rje(x),

(х)

которое означает согласно утверждению (б(іі)), что 52 = і(Ія- Если Я кокоммутативна, второе равенство превращается в следующее:

Ve(x) = YS(x")x',

(х)

которое снова означает, что S2 = id# ввиду утверждения (б (iii)). ?

Из теоремы 3.4 немедленно получается следующее Следствие 3.3.5. Пусть (H,h,t],A,?,S) — алгебра Хопфа. Тогда Hopcop = (Я, мор,??, A°V,S)

— также алгебра Хопфа и S: H —>¦ Hopcop есть гомоморфизм алгебр Хопфа. Если, кроме того, S является изоморфизмом с обратным отображением 5-1, то

Hop = (Я,Ai0PjT7lA,г, S"1) u Hcop = (Н,ц,г/, Aop,є, S^1)

— изоморфные алгебры Хопфа, причем изоморфизм дается отображением S.

Эндоморфизм T биалгебры Я такой, что для всех х Є H

YnxnW = є(х)1 = YjXnT(Xt), (3.7)

(X) (х)

иногда называется косым антиподом на Я. Иначе говоря, косой антипод — это антипод на биалгебрах Hop и Ясор. Согласно следствию 3.5 отображение, обратное к антиподу (если такое существует), является косым антиподом. 3.3. Алгебры Хопфа

71

Соотношения (3.3), определяющие антипод, не всегда бывает легко проверить для любого элемента биалгебры, но иногда может быть несложно проверить для некоторых образующих. Нам будет удобно пользоваться следующей леммой.

Лемма 3.3.6. Пусть H — биалгебра, S: H Hop — гомоморфизм алгебр. Предположим, что H мультипликативно порождается подмножеством X таким, что
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed