Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
А(х) = 1<8а: + а:<8 1.
Мы обозначаем через Prim(C) подпространство в С, состоящее из всех примитивных элементов.
Предложение 3.2.6. Если х — примитивный элемент некоторой биалгебры, то є(х) = 0. Если у — другой примитивный элемент, то коммутатор [х,у] = ху — ух также примитивен.
Доказательство. По определению коединицы и примитивного элемента мы имеем
X = є(1):г + є(ж)1 =х + є(ж)1.
Следовательно, є(х) = 0. Что касается второго утверждения, то мы имеем
А (ху) = (1 (8 X + X (8 1)(1 <8у + у<81) = 1<8а;у + а;(8уЧ-у(8а; + а;у(81.
2 ... п—р п — р + 1 п — р + 2 р + 2 ... п 1 2 3.3. Алгебры Хопфа
63
Отсюда следует, что
А([х,у}) = 1®[ам/] + [х,у]®1, то есть элемент [ж, у) является примитивным.
?
Образующие V Є V тензорной алгебры T(V) примитивны, как следует из условия теоремы 2.4. Пусть H — некоторая биалгебра и Xi,... ,хп — примитивные элементы в Н. Рассмотрим линейное пространство V с базисом {ui,... ,vn}. Существует, и притом единственный, гомоморфизм / из тензорной алгебры T(V) в H такой, что f(vi) = Xi для всех І.
Предложение 3.2.7. Отображение f : T(V) —> H есть гомоморфизм биалгебр.
Доказательство. Мы должны проверить, что
для всех ? Є T(V). Так как все отображения, встречающиеся в (2.7), являются гомоморфизмами алгебр, достаточно проверить (2.7), когда ? = V Є V. В этом случае равенство (2.7) верно, поскольку элементы Х{
Из предложения 2.7 мы видим, что для любого множества {її,... ,хп} примитивных элементов биалгебры значение Д(жі,... , хп) задается формулой (2.6) из теоремы 2.4 после замены Vi на Х{.
3.3. Алгебры Хопфа
Имея алгебру (А, /л, rf) и коалгебру (С, Д, є), определим билинейное отображение, называемое сверткой, на линейном пространстве Нот(С, А) всех линейных отображений из С в А. По определению, если f,g — элементы из Нот(С, А), то их свертка f *д есть композиция отображений
e(f(0) = e(0 и (/®/)Д(0 = Д(/(0)
(2.7)
примитивны.
?
С -А* С ®С -? A® A А.
(3.1) 64
Глава 3. Язык алгебр Хопфа
В сигма-обозначениях Свидлера 1.6 мы имеем
(f*g)(x) = T,f(x'Mx") (3-2)
(X)
для любого элемента х Є С. Свертка, очевидно, является билинейной операцией.
Предложение 3.3.1. (а) Тройка (Нот(С,А),*, т] о є) является алгеброй.
(б) Отображение X с,А'- А <8 С* —Hom(C1A) из следствия 2.2.3 есть гомоморфизм алгебр, где А® С* — тензорное произведение алгебры А и алгебры С*, двойственной к коалгебре С.
Доказательство, (а) Из формулы (3.2), ассоциативности умножения в А и коассоциативности коумножения в С мы имеем
((/ * g) * h) (х) = ]Г f(x')g(x")h(x"') = {f*(g*h)) (х).
(X)
Это означает, что свертка ассоциативна. Отображение г] о є является левой единицей для свертки ввиду равенства
((T) О е) */)(х) = 2>0г')/0г") = /(5>(*v) = /Or),
(X) (X)
которое получается из (1.21). Аналогично доказывается, что г)ое является правой единицей.
(б) Пусть а, Ь Є А и а, ? Є С*. Тогда для х Є С мы имеем
[Xe,а (а <8 а) * Хс,а(Ь ® ?j) (х) = ? a(x')?(x") ab =
(X)
= (a?)(x) ab = = (A c,A(ab®a?))(x)-
Отсюда следует, что отображение А с,а коммутирует с умножением. Что касается единицы, мы имеем
(AciyI(Iee))(X)=E(X)I = (T7Oe)(X). ? 3.3. Алгебры Хопфа
65
Пример 1. В случае A = к структура алгебры (Нот(С,к),*,т\ о є) на двойственном пространстве С* совпадает с той, что была введена в предложении 1.2.
Для биалгебры (Н, /і, tj, А, є) мы можем рассмотреть случай С = = A = H и определить таким образом свертку на пространстве End(H) линейных операторов на Н.
Определение 3.3.2. Пусть (H,/і, 77, А, є) — некоторая биалгебра. Оператор 5 на Я называется антиподом биалгебры Н, если
S * id// = id// * S = г) о є.
Алгеброй Хопфа называется биалгебра с антиподом. Гомоморфизм алгебр Хопфа — это гомоморфизм соответствующих биалгебр, коммутирующий с антиподом.
Произвольная биалгебра не всегда имеет антипод. Но если он существует, то только один. Действительно, пусть S и S1 — два антипода, тогда
S = S*(t]e) = S*(\dH*S') = (S*idH)*S' = (r]?)*S' = S'.
Алгебра Хопфа с антиподом S обозначается через (Н,ц,г/, А, є, S).
Используя обозначения Свидлера 1.6, мы видим, что антипод удовлетворяет соотношениям
Y x'S(x") = є(х)1 = ]Г S(x')x" (3.3)
(х) (х)
для всех X Є 'Н. В любой алгебре Хопфа мы имеем также такие соотношения, как
]Г ® ^2) ® S(xW) ® х™ ® ^5) = ]Г>(1)® ) ® X^ ® X^ =
(*) (х)
(х)
Первое равенство следует из (3.3), то есть из определения антипода, в то время как второе следует из (1.21), то есть из аксиомы (Coun). Подобные вычисления будут выполняться ниже без дальнейших объяснений. 66
Глава 3. Язык алгебр Хопфа
Мы дадим аналог утверждения из примера 1 параграфа 2.
Предложение 3.3.3. Пусть H — конечномерная алгебра Хопфа с антиподом S. Тогда биалгебра Н* есть алгебра Хопфа с антиподом S*.
Доказательство. S* является оператором на H*, транспонированным к S. Докажем для него первое из равенств (3.3). Для всех а € H*, ? ? H мы имеем
(?a'SV'))(*)= ^ a'(x')S*(a")(x") =
(a) (a)(i)
